Theorem mosubt 2828

Description: "At most one" remains true after substitution. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mosubt	|- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mosubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eueq 2822	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E! y y = A )
2		isset 2661	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E. y y = A )
3	1, 2	bitr3i 185	. . . . 5 |- ( E! y y = A <-> E. y y = A )
4		nfv 1489	. . . . . 6 |- F/ x y = A
5	4	euexex 2058	. . . . 5 |- ( ( E! y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
6	3, 5	sylanbr 281	. . . 4 |- ( ( E. y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
7	6	expcom 115	. . 3 |- ( A. y E* x ph -> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
8		moanimv 2048	. . 3 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) <-> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
9	7, 8	sylibr 133	. 2 |- ( A. y E* x ph -> E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
10		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( y = A /\ ph ) -> y = A )
11	10	eximi 1560	. . . 4 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> E. y y = A )
12	11	ancri 320	. . 3 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
13	12	moimi 2038	. 2 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
14	9, 13	syl 14	1 |- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1310   = wceq 1312   E.wex 1449   e. wcel 1461   E!weu 1973   E*wmo 1974   _Vcvv 2655

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-v 2657

This theorem is referenced by:  mosub  2829