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Theorem mosubt 2828
Description: "At most one" remains true after substitution. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
mosubt  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem mosubt
StepHypRef Expression
1 eueq 2822 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  <->  E! y 
y  =  A )
2 isset 2661 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  <->  E. y 
y  =  A )
31, 2bitr3i 185 . . . . 5  |-  ( E! y  y  =  A  <->  E. y  y  =  A )
4 nfv 1489 . . . . . 6  |-  F/ x  y  =  A
54euexex 2058 . . . . 5  |-  ( ( E! y  y  =  A  /\  A. y E* x ph )  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
63, 5sylanbr 281 . . . 4  |-  ( ( E. y  y  =  A  /\  A. y E* x ph )  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
76expcom 115 . . 3  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E. y  y  =  A  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
8 moanimv 2048 . . 3  |-  ( E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
)  <->  ( E. y 
y  =  A  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) ) )
97, 8sylibr 133 . 2  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
10 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( y  =  A  /\  ph )  ->  y  =  A )
1110eximi 1560 . . . 4  |-  ( E. y ( y  =  A  /\  ph )  ->  E. y  y  =  A )
1211ancri 320 . . 3  |-  ( E. y ( y  =  A  /\  ph )  ->  ( E. y  y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
1312moimi 2038 . 2  |-  ( E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
)  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph )
)
149, 13syl 14 1  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1310    = wceq 1312   E.wex 1449    e. wcel 1461   E!weu 1973   E*wmo 1974   _Vcvv 2655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-v 2657
This theorem is referenced by:  mosub  2829
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