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Theorem mosubt 2899
Description: "At most one" remains true after substitution. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
mosubt  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem mosubt
StepHypRef Expression
1 eueq 2893 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  <->  E! y 
y  =  A )
2 isset 2728 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  <->  E. y 
y  =  A )
31, 2bitr3i 185 . . . . 5  |-  ( E! y  y  =  A  <->  E. y  y  =  A )
4 nfv 1515 . . . . . 6  |-  F/ x  y  =  A
54euexex 2098 . . . . 5  |-  ( ( E! y  y  =  A  /\  A. y E* x ph )  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
63, 5sylanbr 283 . . . 4  |-  ( ( E. y  y  =  A  /\  A. y E* x ph )  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
76expcom 115 . . 3  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E. y  y  =  A  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
8 moanimv 2088 . . 3  |-  ( E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
)  <->  ( E. y 
y  =  A  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) ) )
97, 8sylibr 133 . 2  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
10 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( y  =  A  /\  ph )  ->  y  =  A )
1110eximi 1587 . . . 4  |-  ( E. y ( y  =  A  /\  ph )  ->  E. y  y  =  A )
1211ancri 322 . . 3  |-  ( E. y ( y  =  A  /\  ph )  ->  ( E. y  y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
1312moimi 2078 . 2  |-  ( E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
)  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph )
)
149, 13syl 14 1  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1340    = wceq 1342   E.wex 1479   E!weu 2013   E*wmo 2014    e. wcel 2135   _Vcvv 2722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-v 2724
This theorem is referenced by:  mosub  2900
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