Theorem mosubt 2941

Description: "At most one" remains true after substitution. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mosubt	|- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mosubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eueq 2935	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E! y y = A )
2		isset 2769	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E. y y = A )
3	1, 2	bitr3i 186	. . . . 5 |- ( E! y y = A <-> E. y y = A )
4		nfv 1542	. . . . . 6 |- F/ x y = A
5	4	euexex 2130	. . . . 5 |- ( ( E! y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
6	3, 5	sylanbr 285	. . . 4 |- ( ( E. y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
7	6	expcom 116	. . 3 |- ( A. y E* x ph -> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
8		moanimv 2120	. . 3 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) <-> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
9	7, 8	sylibr 134	. 2 |- ( A. y E* x ph -> E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
10		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( y = A /\ ph ) -> y = A )
11	10	eximi 1614	. . . 4 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> E. y y = A )
12	11	ancri 324	. . 3 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
13	12	moimi 2110	. 2 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
14	9, 13	syl 14	1 |- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   E!weu 2045   E*wmo 2046   e. wcel 2167   _Vcvv 2763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-v 2765

This theorem is referenced by:  mosub  2942