Theorem mosubt 2907

Description: "At most one" remains true after substitution. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mosubt	|- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mosubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eueq 2901	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E! y y = A )
2		isset 2736	. . . . . 6 |- ( A e. _V <-> E. y y = A )
3	1, 2	bitr3i 185	. . . . 5 |- ( E! y y = A <-> E. y y = A )
4		nfv 1521	. . . . . 6 |- F/ x y = A
5	4	euexex 2104	. . . . 5 |- ( ( E! y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
6	3, 5	sylanbr 283	. . . 4 |- ( ( E. y y = A /\ A. y E* x ph ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
7	6	expcom 115	. . 3 |- ( A. y E* x ph -> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
8		moanimv 2094	. . 3 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) <-> ( E. y y = A -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) ) )
9	7, 8	sylibr 133	. 2 |- ( A. y E* x ph -> E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
10		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( y = A /\ ph ) -> y = A )
11	10	eximi 1593	. . . 4 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> E. y y = A )
12	11	ancri 322	. . 3 |- ( E. y ( y = A /\ ph ) -> ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) )
13	12	moimi 2084	. 2 |- ( E* x ( E. y y = A /\ E. y ( y = A /\ ph ) ) -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )
14	9, 13	syl 14	1 |- ( A. y E* x ph -> E* x E. y ( y = A /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   E!weu 2019   E*wmo 2020   e. wcel 2141   _Vcvv 2730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-v 2732

This theorem is referenced by:  mosub  2908