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Theorem mosubt 2929
Description: "At most one" remains true after substitution. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
mosubt  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem mosubt
StepHypRef Expression
1 eueq 2923 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  <->  E! y 
y  =  A )
2 isset 2758 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  <->  E. y 
y  =  A )
31, 2bitr3i 186 . . . . 5  |-  ( E! y  y  =  A  <->  E. y  y  =  A )
4 nfv 1539 . . . . . 6  |-  F/ x  y  =  A
54euexex 2123 . . . . 5  |-  ( ( E! y  y  =  A  /\  A. y E* x ph )  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
63, 5sylanbr 285 . . . 4  |-  ( ( E. y  y  =  A  /\  A. y E* x ph )  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
76expcom 116 . . 3  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E. y  y  =  A  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
8 moanimv 2113 . . 3  |-  ( E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
)  <->  ( E. y 
y  =  A  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) ) )
97, 8sylibr 134 . 2  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
10 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( y  =  A  /\  ph )  ->  y  =  A )
1110eximi 1611 . . . 4  |-  ( E. y ( y  =  A  /\  ph )  ->  E. y  y  =  A )
1211ancri 324 . . 3  |-  ( E. y ( y  =  A  /\  ph )  ->  ( E. y  y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
) )
1312moimi 2103 . 2  |-  ( E* x ( E. y 
y  =  A  /\  E. y ( y  =  A  /\  ph )
)  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph )
)
149, 13syl 14 1  |-  ( A. y E* x ph  ->  E* x E. y ( y  =  A  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1503   E!weu 2038   E*wmo 2039    e. wcel 2160   _Vcvv 2752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-v 2754
This theorem is referenced by:  mosub  2930
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