Theorem otth 4220

Description: Ordered triple theorem. (Contributed by NM, 25-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
otth.1	|- A e. _V
otth.2	|- B e. _V
otth.3	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
otth	|- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )

Proof of Theorem otth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 3586	. . 3 |- <. A , B , R >. = <. <. A , B >. , R >.
2		df-ot 3586	. . 3 |- <. C , D , S >. = <. <. C , D >. , S >.
3	1, 2	eqeq12i 2179	. 2 |- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> <. <. A , B >. , R >. = <. <. C , D >. , S >. )
4		otth.1	. . 3 |- A e. _V
5		otth.2	. . 3 |- B e. _V
6		otth.3	. . 3 |- R e. _V
7	4, 5, 6	otth2 4219	. 2 |- ( <. <. A , B >. , R >. = <. <. C , D >. , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )
8	3, 7	bitri 183	1 |- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   <.cop 3579   <.cotp 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-ot 3586

This theorem is referenced by:  euotd  4232