Theorem otth 4172

Description: Ordered triple theorem. (Contributed by NM, 25-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
otth.1	|- A e. _V
otth.2	|- B e. _V
otth.3	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
otth	|- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )

Proof of Theorem otth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ot 3542	. . 3 |- <. A , B , R >. = <. <. A , B >. , R >.
2		df-ot 3542	. . 3 |- <. C , D , S >. = <. <. C , D >. , S >.
3	1, 2	eqeq12i 2154	. 2 |- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> <. <. A , B >. , R >. = <. <. C , D >. , S >. )
4		otth.1	. . 3 |- A e. _V
5		otth.2	. . 3 |- B e. _V
6		otth.3	. . 3 |- R e. _V
7	4, 5, 6	otth2 4171	. 2 |- ( <. <. A , B >. , R >. = <. <. C , D >. , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )
8	3, 7	bitri 183	1 |- ( <. A , B , R >. = <. C , D , S >. <-> ( A = C /\ B = D /\ R = S ) )

Syntax hints:   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   <.cop 3535   <.cotp 3536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-ot 3542

This theorem is referenced by:  euotd  4184