Theorem ralcomf 2618

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralcomf.1	|- F/_ y A
ralcomf.2	|- F/_ x B

Assertion

Ref	Expression
ralcomf	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem ralcomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancomsimp 1420	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
2	1	2albii 1451	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
3		alcom 1458	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
4	2, 3	bitri 183	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
5		ralcomf.1	. . 3 |- F/_ y A
6	5	r2alf 2474	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )
7		ralcomf.2	. . 3 |- F/_ x B
8	7	r2alf 2474	. 2 |- ( A. y e. B A. x e. A ph <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
9	4, 6, 8	3bitr4i 211	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1333   e. wcel 2128   F/_wnfc 2286   A.wral 2435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1441  df-sb 1743  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440

This theorem is referenced by:  ralcom  2620  ssiinf  3899