Theorem ralcomf 2692

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralcomf.1	|- F/_ y A
ralcomf.2	|- F/_ x B

Assertion

Ref	Expression
ralcomf	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem ralcomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancomsimp 1483	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
2	1	2albii 1517	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
3		alcom 1524	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
5		ralcomf.1	. . 3 |- F/_ y A
6	5	r2alf 2547	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )
7		ralcomf.2	. . 3 |- F/_ x B
8	7	r2alf 2547	. 2 |- ( A. y e. B A. x e. A ph <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
9	4, 6, 8	3bitr4i 212	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   e. wcel 2200   F/_wnfc 2359   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513

This theorem is referenced by:  ralcom  2694  ssiinf  4015