Theorem ralcomf 2528

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralcomf.1	|- F/_ y A
ralcomf.2	|- F/_ x B

Assertion

Ref	Expression
ralcomf	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem ralcomf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancomsimp 1374	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
2	1	2albii 1405	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
3		alcom 1412	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
4	2, 3	bitri 182	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
5		ralcomf.1	. . 3 |- F/_ y A
6	5	r2alf 2395	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )
7		ralcomf.2	. . 3 |- F/_ x B
8	7	r2alf 2395	. 2 |- ( A. y e. B A. x e. A ph <-> A. y A. x ( ( y e. B /\ x e. A ) -> ph ) )
9	4, 6, 8	3bitr4i 210	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1287   e. wcel 1438   F/_wnfc 2215   A.wral 2359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364

This theorem is referenced by:  ralcom  2530  ssiinf  3779