Theorem ralcom 2714

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by NM, 13-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem ralcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 |- F/_ y A
2		nfcv 2392	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	ralcomf 2712	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is referenced by:  ralrot3  2716  ralcom4  2844  ssint  3981  issod  4459  reusv3  4601  cnvpom  5325  cnvsom  5326  fununi  5444  isocnv2  6008  dfsmo2  6548  ixpiinm  6996  rexfiuz  11733  isnsg2  13983  opprsubrngg  14492  opprdomnbg  14556  rmodislmodlem  14659  rmodislmod  14660  tgss2  15103  cnmptcom  15322