Theorem ralcom 2708

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by NM, 13-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem ralcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. 2 |- F/_ y A
2		nfcv 2386	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	ralcomf 2706	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527

This theorem is referenced by:  ralrot3  2710  ralcom4  2838  ssint  3970  issod  4445  reusv3  4586  cnvpom  5310  cnvsom  5311  fununi  5429  isocnv2  5991  dfsmo2  6531  ixpiinm  6972  rexfiuz  11699  isnsg2  13956  opprsubrngg  14457  opprdomnbg  14521  rmodislmodlem  14624  rmodislmod  14625  tgss2  15070  cnmptcom  15289