Theorem ralcom 2633

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by NM, 13-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem ralcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2312	. 2 |- F/_ y A
2		nfcv 2312	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	ralcomf 2631	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wral 2448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453

This theorem is referenced by:  ralcom4  2752  ssint  3847  issod  4304  reusv3  4445  cnvpom  5153  cnvsom  5154  fununi  5266  isocnv2  5791  dfsmo2  6266  ixpiinm  6702  rexfiuz  10953  tgss2  12873  cnmptcom  13092