Theorem ralcom 2594

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by NM, 13-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem ralcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2281	. 2 |- F/_ y A
2		nfcv 2281	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	ralcomf 2592	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wral 2416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421

This theorem is referenced by:  ralcom4  2708  ssint  3787  issod  4241  reusv3  4381  cnvpom  5081  cnvsom  5082  fununi  5191  isocnv2  5713  dfsmo2  6184  ixpiinm  6618  rexfiuz  10761  tgss2  12248  cnmptcom  12467