Theorem ralcom 2697

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by NM, 13-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem ralcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2375	. 2 |- F/_ y A
2		nfcv 2375	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	ralcomf 2695	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516

This theorem is referenced by:  ralrot3  2699  ralcom4  2826  ssint  3949  issod  4422  reusv3  4563  cnvpom  5286  cnvsom  5287  fununi  5405  isocnv2  5963  dfsmo2  6496  ixpiinm  6936  rexfiuz  11629  isnsg2  13870  opprsubrngg  14306  opprdomnbg  14370  rmodislmodlem  14446  rmodislmod  14447  tgss2  14890  cnmptcom  15109