Theorem ralcom 2696

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by NM, 13-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem ralcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2374	. 2 |- F/_ y A
2		nfcv 2374	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	ralcomf 2694	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515

This theorem is referenced by:  ralrot3  2698  ralcom4  2825  ssint  3944  issod  4416  reusv3  4557  cnvpom  5279  cnvsom  5280  fununi  5398  isocnv2  5953  dfsmo2  6453  ixpiinm  6893  rexfiuz  11567  isnsg2  13808  opprsubrngg  14244  opprdomnbg  14307  rmodislmodlem  14383  rmodislmod  14384  tgss2  14822  cnmptcom  15041