Theorem ralcom 2620

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by NM, 13-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem ralcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2299	. 2 |- F/_ y A
2		nfcv 2299	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	ralcomf 2618	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wral 2435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1441  df-sb 1743  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440

This theorem is referenced by:  ralcom4  2734  ssint  3824  issod  4280  reusv3  4421  cnvpom  5129  cnvsom  5130  fununi  5239  isocnv2  5763  dfsmo2  6235  ixpiinm  6670  rexfiuz  10893  tgss2  12521  cnmptcom  12740