Theorem ralcom 2706

Description: Commutation of restricted quantifiers. (Contributed by NM, 13-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   x, B   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem ralcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2384	. 2 |- F/_ y A
2		nfcv 2384	. 2 |- F/_ x B
3	1, 2	ralcomf 2704	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. y e. B A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wral 2520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525

This theorem is referenced by:  ralrot3  2708  ralcom4  2835  ssint  3964  issod  4439  reusv3  4580  cnvpom  5304  cnvsom  5305  fununi  5423  isocnv2  5984  dfsmo2  6517  ixpiinm  6958  rexfiuz  11670  isnsg2  13912  opprsubrngg  14348  opprdomnbg  14412  rmodislmodlem  14490  rmodislmod  14491  tgss2  14936  cnmptcom  15155