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Theorem r2alf 2395
Description: Double restricted universal quantification. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
r2alf.1  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
r2alf  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )
)
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem r2alf
StepHypRef Expression
1 df-ral 2364 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
2 r2alf.1 . . . . . 6  |-  F/_ y A
32nfcri 2222 . . . . 5  |-  F/ y  x  e.  A
4319.21 1520 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
)  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) ) )
5 impexp 259 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
) )
65albii 1404 . . . 4  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
) )
7 df-ral 2364 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ph  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) )
87imbi2i 224 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) ) )
94, 6, 83bitr4i 210 . . 3  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
109albii 1404 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
111, 10bitr4i 185 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    e. wcel 1438   F/_wnfc 2215   A.wral 2359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364
This theorem is referenced by:  r2al  2397  ralcomf  2528
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