Theorem r2alf 2547

Description: Double restricted universal quantification. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
r2alf.1	|- F/_ y A

Assertion

Ref	Expression
r2alf	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem r2alf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2513	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
2		r2alf.1	. . . . . 6 |- F/_ y A
3	2	nfcri 2366	. . . . 5 |- F/ y x e. A
4	3	19.21 1629	. . . 4 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
5		impexp 263	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
6	5	albii 1516	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
7		df-ral 2513	. . . . 5 |- ( A. y e. B ph <-> A. y ( y e. B -> ph ) )
8	7	imbi2i 226	. . . 4 |- ( ( x e. A -> A. y e. B ph ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
9	4, 6, 8	3bitr4i 212	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
10	9	albii 1516	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
11	1, 10	bitr4i 187	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   e. wcel 2200   F/_wnfc 2359   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513

This theorem is referenced by:  r2al  2549  ralcomf  2692