Theorem r2alf 2483

Description: Double restricted universal quantification. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
r2alf.1	|- F/_ y A

Assertion

Ref	Expression
r2alf	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem r2alf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2449	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
2		r2alf.1	. . . . . 6 |- F/_ y A
3	2	nfcri 2302	. . . . 5 |- F/ y x e. A
4	3	19.21 1571	. . . 4 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
5		impexp 261	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
6	5	albii 1458	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
7		df-ral 2449	. . . . 5 |- ( A. y e. B ph <-> A. y ( y e. B -> ph ) )
8	7	imbi2i 225	. . . 4 |- ( ( x e. A -> A. y e. B ph ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
9	4, 6, 8	3bitr4i 211	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
10	9	albii 1458	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
11	1, 10	bitr4i 186	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   e. wcel 2136   F/_wnfc 2295   A.wral 2444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449

This theorem is referenced by:  r2al  2485  ralcomf  2627