Theorem r2alf 2426

Description: Double restricted universal quantification. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
r2alf.1	|- F/_ y A

Assertion

Ref	Expression
r2alf	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem r2alf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2395	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
2		r2alf.1	. . . . . 6 |- F/_ y A
3	2	nfcri 2249	. . . . 5 |- F/ y x e. A
4	3	19.21 1545	. . . 4 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
5		impexp 261	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
6	5	albii 1429	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. B -> ph ) ) )
7		df-ral 2395	. . . . 5 |- ( A. y e. B ph <-> A. y ( y e. B -> ph ) )
8	7	imbi2i 225	. . . 4 |- ( ( x e. A -> A. y e. B ph ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. B -> ph ) ) )
9	4, 6, 8	3bitr4i 211	. . 3 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
10	9	albii 1429	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B ph ) )
11	1, 10	bitr4i 186	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1312   e. wcel 1463   F/_wnfc 2242   A.wral 2390

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1420  df-sb 1719  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395

This theorem is referenced by:  r2al  2428  ralcomf  2566