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Theorem r2alf 2494
Description: Double restricted universal quantification. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
r2alf.1  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
r2alf  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )
)
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem r2alf
StepHypRef Expression
1 df-ral 2460 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
2 r2alf.1 . . . . . 6  |-  F/_ y A
32nfcri 2313 . . . . 5  |-  F/ y  x  e.  A
4319.21 1583 . . . 4  |-  ( A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
)  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) ) )
5 impexp 263 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
) )
65albii 1470 . . . 4  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  A. y ( x  e.  A  ->  ( y  e.  B  ->  ph )
) )
7 df-ral 2460 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ph  <->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) )
87imbi2i 226 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y
( y  e.  B  ->  ph ) ) )
94, 6, 83bitr4i 212 . . 3  |-  ( A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
109albii 1470 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ph ) )
111, 10bitr4i 187 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    e. wcel 2148   F/_wnfc 2306   A.wral 2455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460
This theorem is referenced by:  r2al  2496  ralcomf  2638
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