Theorem resexg 5105

Description: The restriction of a set is a set. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
resexg	|- ( A e. V -> ( A |` B ) e. _V )

Proof of Theorem resexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 5089	. 2 |- ( A |` B ) C_ A
2		ssexg 4274	. 2 |- ( ( ( A |` B ) C_ A /\ A e. V ) -> ( A |` B ) e. _V )
3	1, 2	mpan 428	1 |- ( A e. V -> ( A |` B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   |` cres 4778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-res 4788

This theorem is used by:  resexd  5106  resex  5107  offres  6372  ressuppss  6498  resixp  7019  seqf1oglem2  10978  climres  12094  setsvalg  13440  setsex  13442  setsslid  13461  gzsumsplit1r  13774  znval  15080  znle  15081  znbaslemnn  15083  znleval  15097  uhgrspanop  16728  upgrspanop  16729  umgrspanop  16730  usgrspanop  16731  eupthvdres  16921  eupth2lem3fi  16922  eupth2lembfi  16923