Theorem setsvalg 12424

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsvalg	|- ( ( S e. V /\ A e. W ) -> ( S sSet A ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )

Proof of Theorem setsvalg

Dummy variables e s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. 2 |- ( S e. V -> S e. _V )
2		elex 2737	. 2 |- ( A e. W -> A e. _V )
3		resexg 4924	. . . 4 |- ( S e. _V -> ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) e. _V )
4		snexg 4163	. . . 4 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
5		unexg 4421	. . . 4 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) e. _V /\ { A } e. _V ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) e. _V )
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) e. _V )
7		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> s = S )
8		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> e = A )
9	8	sneqd 3589	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> { e } = { A } )
10	9	dmeqd 4806	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> dom { e } = dom { A } )
11	10	difeq2d 3240	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> ( _V \ dom { e } ) = ( _V \ dom { A } ) )
12	7, 11	reseq12d 4885	. . . . 5 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> ( s |` ( _V \ dom { e } ) ) = ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) )
13	12, 9	uneq12d 3277	. . . 4 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> ( ( s |` ( _V \ dom { e } ) ) u. { e } ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )
14		df-sets 12401	. . . 4 |- sSet = ( s e. _V , e e. _V |-> ( ( s |` ( _V \ dom { e } ) ) u. { e } ) )
15	13, 14	ovmpoga 5971	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ A e. _V /\ ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) e. _V ) -> ( S sSet A ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )
16	6, 15	mpd3an3 1328	. 2 |- ( ( S e. _V /\ A e. _V ) -> ( S sSet A ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )
17	1, 2, 16	syl2an 287	1 |- ( ( S e. V /\ A e. W ) -> ( S sSet A ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   {csn 3576   dom cdm 4604   |` cres 4606  (class class class)co 5842   sSet csts 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sets 12401

This theorem is referenced by:  setsvala  12425  setsfun  12429  setsfun0  12430  setsresg  12432