Theorem setsex 12363

Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsex	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )

Proof of Theorem setsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 12362	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
2		resexg 4918	. . . 4 |- ( S e. V -> ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V )
3	2	3ad2ant1 1007	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V )
4		opexg 4200	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
5	4	3adant1 1004	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
6		snexg 4157	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. _V -> { <. A , B >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } e. _V )
8		unexg 4415	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V /\ { <. A , B >. } e. _V ) -> ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) e. _V )
9	3, 7, 8	syl2anc 409	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) e. _V )
10	1, 9	eqeltrd 2241	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 967   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   \ cdif 3108   u. cun 3109   {csn 3570   <.cop 3573   |` cres 4600  (class class class)co 5836   sSet csts 12329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-res 4610  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-sets 12338

This theorem is referenced by:  setsabsd  12370  setscom  12371  setsslnid  12382  ressval2  12391