Theorem setsex 13433

Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsex	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )

Proof of Theorem setsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 13432	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
2		resexg 5103	. . . 4 |- ( S e. V -> ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V )
3	2	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V )
4		opexg 4368	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
5	4	3adant1 1046	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
6		snexg 4321	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. _V -> { <. A , B >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } e. _V )
8		unexg 4589	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V /\ { <. A , B >. } e. _V ) -> ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) e. _V )
9	3, 7, 8	syl2anc 415	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) e. _V )
10	1, 9	eqeltrd 2315	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   {csn 3709   <.cop 3712   |` cres 4776  (class class class)co 6085   sSet csts 13399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sets 13408

This theorem is used by:  setsabsd  13440  setscom  13441  setsslnid  13453  ressvalsets  13467  ressex  13468  fnmgp  14268  mgpvalg  14269  mgpex  14272  opprvalg  14423  opprex  14427  sraval  14823  sralemg  14824  srascag  14828  sravscag  14829  sraipg  14830  sraex  14832  zlmval  15011  zlmlemg  15012  zlmsca  15016  zlmvscag  15017  znval  15020  znbaslemnn  15023  setsvtx  16390  setsiedg  16391  usgrstrrepeen  16570