Theorem setsex 12653

Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsex	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )

Proof of Theorem setsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 12652	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
2		resexg 4983	. . . 4 |- ( S e. V -> ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V )
3	2	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V )
4		opexg 4258	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
5	4	3adant1 1017	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
6		snexg 4214	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. _V -> { <. A , B >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } e. _V )
8		unexg 4475	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V /\ { <. A , B >. } e. _V ) -> ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) e. _V )
9	3, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) e. _V )
10	1, 9	eqeltrd 2270	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   \ cdif 3151   u. cun 3152   {csn 3619   <.cop 3622   |` cres 4662  (class class class)co 5919   sSet csts 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sets 12628

This theorem is referenced by:  setsabsd  12660  setscom  12661  setsslnid  12673  ressvalsets  12685  ressex  12686  fnmgp  13421  mgpvalg  13422  mgpex  13424  opprvalg  13568  opprex  13572  sraval  13936  sralemg  13937  srascag  13941  sravscag  13942  sraipg  13943  sraex  13945  zlmval  14126  zlmlemg  14127  zlmsca  14131  zlmvscag  14132  znval  14135  znbaslemnn  14138