ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsex Unicode version

Theorem setsex 12485
Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsex  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  e.  _V )

Proof of Theorem setsex
StepHypRef Expression
1 setsvala 12484 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
2 resexg 4945 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  e.  _V )
323ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  e.  _V )
4 opexg 4227 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
543adant1 1015 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
6 snexg 4183 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
_V  ->  { <. A ,  B >. }  e.  _V )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. }  e.  _V )
8 unexg 4442 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  e.  _V  /\ 
{ <. A ,  B >. }  e.  _V )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  B >. } )  e.  _V )
93, 7, 8syl2anc 411 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  B >. } )  e.  _V )
101, 9eqeltrd 2254 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    \ cdif 3126    u. cun 3127   {csn 3592   <.cop 3595    |` cres 4627  (class class class)co 5871   sSet csts 12451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-res 4637  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-sets 12460
This theorem is referenced by:  setsabsd  12492  setscom  12493  setsslnid  12505  ressvalsets  12515  ressex  12516  fnmgp  13054  mgpvalg  13055  mgpex  13057  opprvalg  13163  opprex  13167
  Copyright terms: Public domain W3C validator