Theorem setsex 13261

Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsex	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )

Proof of Theorem setsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 13260	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
2		resexg 5080	. . . 4 |- ( S e. V -> ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V )
3	2	3ad2ant1 1045	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V )
4		opexg 4346	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
5	4	3adant1 1042	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
6		snexg 4299	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. _V -> { <. A , B >. } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } e. _V )
8		unexg 4566	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) e. _V /\ { <. A , B >. } e. _V ) -> ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) e. _V )
9	3, 7, 8	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) e. _V )
10	1, 9	eqeltrd 2311	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3210   u. cun 3211   {csn 3691   <.cop 3694   |` cres 4753  (class class class)co 6052   sSet csts 13227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sets 13236

This theorem is referenced by:  setsabsd  13268  setscom  13269  setsslnid  13281  ressvalsets  13294  ressex  13295  fnmgp  14083  mgpvalg  14084  mgpex  14086  opprvalg  14230  opprex  14234  sraval  14602  sralemg  14603  srascag  14607  sravscag  14608  sraipg  14609  sraex  14611  zlmval  14792  zlmlemg  14793  zlmsca  14797  zlmvscag  14798  znval  14801  znbaslemnn  14804  setsvtx  16063  setsiedg  16064  usgrstrrepeen  16243