Theorem climres 11311

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climres	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Proof of Theorem climres

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		resexg 4948	. . 3 |- ( F e. V -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. _V )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. _V )
4		simpr 110	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
5		simpl 109	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
6		fvres 5540	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
8	1, 3, 4, 5, 7	climeq 11307	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004   |` cres 4629   ` cfv 5217   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ~~> cli 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-clim 11287

This theorem is referenced by:  sumrbdc  11387  expcnv  11512  prodrbdclem2  11581