Theorem climres 11814

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climres	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Proof of Theorem climres

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		resexg 5045	. . 3 |- ( F e. V -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. _V )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. _V )
4		simpr 110	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
5		simpl 109	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
6		fvres 5651	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
8	1, 3, 4, 5, 7	climeq 11810	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   |` cres 4721   ` cfv 5318   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ~~> cli 11789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-clim 11790

This theorem is referenced by:  sumrbdc  11890  expcnv  12015  prodrbdclem2  12084