Theorem climres 12050

Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climres	|- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Proof of Theorem climres

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		resexg 5101	. . 3 |- ( F e. V -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. _V )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) e. _V )
4		simpr 110	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> F e. V )
5		simpl 109	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> M e. ZZ )
6		fvres 5717	. . 3 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
8	1, 3, 4, 5, 7	climeq 12046	1 |- ( ( M e. ZZ /\ F e. V ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` M ) ) ~~> A <-> F ~~> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4128   |` cres 4774   ` cfv 5375   ZZcz 9626   ZZ>=cuz 9903   ~~> cli 12025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-clim 12026

This theorem is referenced by:  sumrbdc  12127  expcnv  12252  prodrbdclem2  12321