Theorem ssexg 4173

Description: The subset of a set is also a set. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 22 (generalized). (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ssexg	|- ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. _V )

Proof of Theorem ssexg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3208	. . . 4 |- ( x = B -> ( A C_ x <-> A C_ B ) )
2	1	imbi1d 231	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A C_ x -> A e. _V ) <-> ( A C_ B -> A e. _V ) ) )
3		vex 2766	. . . 4 |- x e. _V
4	3	ssex 4171	. . 3 |- ( A C_ x -> A e. _V )
5	2, 4	vtoclg 2824	. 2 |- ( B e. C -> ( A C_ B -> A e. _V ) )
6	5	impcom 125	1 |- ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  ssexd  4174  difexg  4175  rabexg  4177  elssabg  4182  elpw2g  4190  abssexg  4216  snexg  4218  sess1  4373  sess2  4374  trsuc  4458  unexb  4478  abnexg  4482  uniexb  4509  xpexg  4778  riinint  4928  dmexg  4931  rnexg  4932  resexg  4987  resiexg  4992  imaexg  5024  exse2  5044  cnvexg  5208  coexg  5215  fabexg  5448  f1oabexg  5519  relrnfvex  5579  fvexg  5580  sefvex  5582  mptfvex  5650  mptexg  5790  ofres  6154  resfunexgALT  6174  cofunexg  6175  fnexALT  6177  f1dmex  6182  oprabexd  6193  mpoexxg  6277  tposexg  6325  frecabex  6465  erex  6625  mapex  6722  pmvalg  6727  elpmg  6732  elmapssres  6741  pmss12g  6743  ixpexgg  6790  ssdomg  6846  fiprc  6883  fival  7045  iccen  10098  wrdexb  10964  shftfvalg  11000  shftfval  11003  tgval  12964  tgvalex  12965  toponsspwpwg  14342  eltg  14372  eltg2  14373  tgss  14383  basgen2  14401  bastop1  14403  topnex  14406  resttopon  14491  restabs  14495  lmfval  14512  cnrest  14555  txss12  14586  metrest  14826  dvbss  15005  dvcnp2cntop  15019  dvaddxxbr  15021  dvmulxxbr  15022  elply2  15055  plyf  15057  plyss  15058  elplyr  15060  plyaddlem  15069  plymullem  15070  plyco  15079