Theorem resdm 4917

Description: A relation restricted to its domain equals itself. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
resdm	|- ( Rel A -> ( A |` dom A ) = A )

Proof of Theorem resdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3157	. 2 |- dom A C_ dom A
2		relssres 4916	. 2 |- ( ( Rel A /\ dom A C_ dom A ) -> ( A |` dom A ) = A )
3	1, 2	mpan2 422	1 |- ( Rel A -> ( A |` dom A ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1342   C_ wss 3111   dom cdm 4598   |` cres 4600   Rel wrel 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605  df-dm 4608  df-res 4610

This theorem is referenced by:  resindm  4920  resdm2  5088  relresfld  5127  relcoi1  5129  funimaexg  5266  fnex  5701  dftpos2  6220  pmresg  6633  dif1en  6836