Theorem resexg 5083

Description: The restriction of a set is a set. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
resexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 5067	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 4254	. 2 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214   ↾ cres 4756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3220  df-ss 3227  df-res 4766

This theorem is referenced by:  resex  5084  offres  6341  ressuppss  6467  resixp  6981  seqf1oglem2  10906  climres  12013  setsvalg  13326  setsex  13328  setsslid  13347  gsumsplit1r  13661  znval  14910  znle  14911  znbaslemnn  14913  znleval  14927  uhgrspanop  16403  upgrspanop  16404  umgrspanop  16405  usgrspanop  16406  eupthvdres  16596  eupth2lem3fi  16597  eupth2lembfi  16598