Theorem resexg 5053

Description: The restriction of a set is a set. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
resexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 5037	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 4228	. 2 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   ↾ cres 4727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-res 4737

This theorem is referenced by:  resex  5054  offres  6297  resixp  6902  seqf1oglem2  10783  climres  11865  setsvalg  13114  setsex  13116  setsslid  13135  gsumsplit1r  13483  znval  14653  znle  14654  znbaslemnn  14656  znleval  14670  uhgrspanop  16136  upgrspanop  16137  umgrspanop  16138  usgrspanop  16139  eupthvdres  16329  eupth2lem3fi  16330  eupth2lembfi  16331