Theorem resexg 5059

Description: The restriction of a set is a set. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
resexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 5043	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 4233	. 2 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201   ↾ cres 4733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-sep 4212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-res 4743

This theorem is referenced by:  resex  5060  offres  6306  ressuppss  6432  resixp  6945  seqf1oglem2  10845  climres  11943  setsvalg  13192  setsex  13194  setsslid  13213  gsumsplit1r  13561  znval  14732  znle  14733  znbaslemnn  14735  znleval  14749  uhgrspanop  16223  upgrspanop  16224  umgrspanop  16225  usgrspanop  16226  eupthvdres  16416  eupth2lem3fi  16417  eupth2lembfi  16418