Theorem resexg 5103

Description: The restriction of a set is a set. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
resexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 5087	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 4272	. 2 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 428	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   ↾ cres 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-res 4786

This theorem is used by:  resex  5104  offres  6368  ressuppss  6494  resixp  7015  seqf1oglem2  10970  climres  12085  setsvalg  13431  setsex  13433  setsslid  13452  gzsumsplit1r  13764  znval  15020  znle  15021  znbaslemnn  15023  znleval  15037  uhgrspanop  16621  upgrspanop  16622  umgrspanop  16623  usgrspanop  16624  eupthvdres  16814  eupth2lem3fi  16815  eupth2lembfi  16816