Theorem resexg 5078

Description: The restriction of a set is a set. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
resexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 5062	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 4249	. 2 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211   ↾ cres 4751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217  df-ss 3224  df-res 4761

This theorem is referenced by:  resex  5079  offres  6328  ressuppss  6454  resixp  6968  seqf1oglem2  10882  climres  11988  setsvalg  13242  setsex  13244  setsslid  13263  gsumsplit1r  13611  znval  14784  znle  14785  znbaslemnn  14787  znleval  14801  uhgrspanop  16277  upgrspanop  16278  umgrspanop  16279  usgrspanop  16280  eupthvdres  16470  eupth2lem3fi  16471  eupth2lembfi  16472