Theorem rr19.28v 2792

Description: Restricted quantifier version of Theorem 19.28 of [Margaris] p. 90. (Contributed by NM, 29-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
rr19.28v	|- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)   A( x)

Proof of Theorem rr19.28v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ph )
2	1	ralimi 2467	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. y e. A ph )
3		biidd 171	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ph <-> ph ) )
4	3	rspcv 2754	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ph -> ph ) )
5	2, 4	syl5 32	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> ph ) )
6		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> ps )
7	6	ralimi 2467	. . . . 5 |- ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. y e. A ps )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. y e. A ps ) )
9	5, 8	jcad 303	. . 3 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ph /\ ps ) -> ( ph /\ A. y e. A ps ) ) )
10	9	ralimia 2465	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) -> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )
11		r19.28av 2540	. . 3 |- ( ( ph /\ A. y e. A ps ) -> A. y e. A ( ph /\ ps ) )
12	11	ralimi 2467	. 2 |- ( A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) -> A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) )
13	10, 12	impbii 125	1 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ph /\ ps ) <-> A. x e. A ( ph /\ A. y e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1461   A.wral 2388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-v 2657

This theorem is referenced by: (None)