Theorem rspcv 2903

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspcv	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1574	. 2 |- F/ x ps
2		rspcv.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
3	1, 2	rspc 2901	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801

This theorem is referenced by:  rspccv  2904  rspcva  2905  rspccva  2906  rspcdva  2912  rspc3v  2923  rr19.3v  2942  rr19.28v  2943  rspsbc  3112  rspc2vd  3193  intmin  3943  ralxfrALT  4558  ontr2exmid  4617  reg2exmidlema  4626  0elsucexmid  4657  funcnvuni  5390  acexmidlemcase  5996  tfrlem1  6454  tfrlem9  6465  oawordriexmid  6616  nneneq  7018  diffitest  7049  xpfi  7094  ordiso2  7202  exmidontriimlem3  7405  prnmaxl  7675  prnminu  7676  cauappcvgprlemm  7832  cauappcvgprlemladdru  7843  cauappcvgprlemladdrl  7844  caucvgsrlemcl  7976  caucvgsrlemfv  7978  caucvgsr  7989  axcaucvglemres  8086  lbreu  9092  nnsub  9149  supinfneg  9790  infsupneg  9791  ublbneg  9808  fzrevral  10301  zsupcllemex  10450  seq3caopr3  10713  seq3id3  10746  wrdind  11254  wrd2ind  11255  reuccatpfxs1lem  11278  recan  11620  cau3lem  11625  caubnd2  11628  climshftlemg  11813  subcn2  11822  climcau  11858  serf0  11863  sumdc  11869  isumrpcl  12005  clim2prod  12050  prodmodclem2  12088  ndvdssub  12441  dfgcd3  12531  dfgcd2  12535  coprmgcdb  12610  coprmdvds1  12613  nprm  12645  dvdsprm  12659  coprm  12666  sqrt2irr  12684  pcmpt  12866  pcmptdvds  12868  pcfac  12873  prmpwdvds  12878  lidrididd  13415  dfgrp2  13560  grpidinv2  13591  dfgrp3mlem  13631  issubg4m  13730  srgrz  13947  srglz  13948  srgisid  13949  rrgeq0i  14228  islmodd  14257  rmodislmod  14315  rnglidlmcl  14444  cnpnei  14893  lmss  14920  txlm  14953  psmet0  15001  metss  15168  metcnp3  15185  mulc1cncf  15263  cncfco  15265  2sqlem6  15799  2sqlem10  15804  usgruspgrben  15984  wlk1walkdom  16070  bj-indsuc  16291  bj-inf2vnlem2  16334  trirec0  16412  iswomni0  16419  neap0mkv  16437