Theorem rspcv 2907

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspcv	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. 2 |- F/ x ps
2		rspcv.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
3	1, 2	rspc 2905	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805

This theorem is referenced by:  rspccv  2908  rspcva  2909  rspccva  2910  rspcdva  2916  rspc3v  2927  rr19.3v  2946  rr19.28v  2947  rspsbc  3116  rspc2vd  3197  intmin  3953  ralxfrALT  4570  ontr2exmid  4629  reg2exmidlema  4638  0elsucexmid  4669  funcnvuni  5406  acexmidlemcase  6023  suppfnss  6435  tfrlem1  6517  tfrlem9  6528  oawordriexmid  6681  nneneq  7086  diffitest  7119  xpfi  7167  ordiso2  7294  exmidontriimlem3  7498  prnmaxl  7768  prnminu  7769  cauappcvgprlemm  7925  cauappcvgprlemladdru  7936  cauappcvgprlemladdrl  7937  caucvgsrlemcl  8069  caucvgsrlemfv  8071  caucvgsr  8082  axcaucvglemres  8179  lbreu  9184  nnsub  9241  supinfneg  9890  infsupneg  9891  ublbneg  9908  fzrevral  10402  zsupcllemex  10553  seq3caopr3  10816  seq3id3  10849  ccatalpha  11256  wrdind  11369  wrd2ind  11370  reuccatpfxs1lem  11393  recan  11749  cau3lem  11754  caubnd2  11757  climshftlemg  11942  subcn2  11951  climcau  11987  serf0  11992  sumdc  11998  isumrpcl  12135  clim2prod  12180  prodmodclem2  12218  ndvdssub  12571  dfgcd3  12661  dfgcd2  12665  coprmgcdb  12740  coprmdvds1  12743  nprm  12775  dvdsprm  12789  coprm  12796  sqrt2irr  12814  pcmpt  12996  pcmptdvds  12998  pcfac  13003  prmpwdvds  13008  lidrididd  13545  dfgrp2  13690  grpidinv2  13721  dfgrp3mlem  13761  issubg4m  13860  srgrz  14078  srglz  14079  srgisid  14080  rrgeq0i  14359  islmodd  14389  rmodislmod  14447  rnglidlmcl  14576  cnpnei  15030  lmss  15057  txlm  15090  psmet0  15138  metss  15305  metcnp3  15322  mulc1cncf  15400  cncfco  15402  2sqlem6  15939  2sqlem10  15944  usgruspgrben  16127  wlk1walkdom  16300  wlkres  16320  clwwlkccatlem  16341  clwwlkext2edg  16363  bj-indsuc  16644  bj-inf2vnlem2  16687  pw1dceq  16726  trirec0  16776  iswomni0  16784  neap0mkv  16802