Theorem rspcv 2789

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspcv	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1509	. 2 |- F/ x ps
2		rspcv.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
3	1, 2	rspc 2787	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691

This theorem is referenced by:  rspccv  2790  rspcva  2791  rspccva  2792  rspcdva  2798  rspc3v  2809  rr19.3v  2827  rr19.28v  2828  rspsbc  2995  intmin  3799  ralxfrALT  4396  ontr2exmid  4448  reg2exmidlema  4457  0elsucexmid  4488  funcnvuni  5200  acexmidlemcase  5777  tfrlem1  6213  tfrlem9  6224  oawordriexmid  6374  nneneq  6759  diffitest  6789  xpfi  6826  ordiso2  6928  prnmaxl  7320  prnminu  7321  cauappcvgprlemm  7477  cauappcvgprlemladdru  7488  cauappcvgprlemladdrl  7489  caucvgsrlemcl  7621  caucvgsrlemfv  7623  caucvgsr  7634  axcaucvglemres  7731  lbreu  8727  nnsub  8783  supinfneg  9417  infsupneg  9418  ublbneg  9432  fzrevral  9916  seq3caopr3  10285  seq3id3  10311  recan  10913  cau3lem  10918  caubnd2  10921  climshftlemg  11103  subcn2  11112  climcau  11148  serf0  11153  sumdc  11159  isumrpcl  11295  clim2prod  11340  prodmodclem2  11378  ndvdssub  11663  zsupcllemex  11675  dfgcd3  11734  dfgcd2  11738  coprmgcdb  11805  coprmdvds1  11808  nprm  11840  dvdsprm  11853  coprm  11858  sqrt2irr  11876  cnpnei  12427  lmss  12454  txlm  12487  psmet0  12535  metss  12702  metcnp3  12719  mulc1cncf  12784  cncfco  12786  bj-indsuc  13297  bj-inf2vnlem2  13340  trirec0  13412