Theorem rspcv 2837

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspcv	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. 2 |- F/ x ps
2		rspcv.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
3	1, 2	rspc 2835	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739

This theorem is referenced by:  rspccv  2838  rspcva  2839  rspccva  2840  rspcdva  2846  rspc3v  2857  rr19.3v  2876  rr19.28v  2877  rspsbc  3045  rspc2vd  3125  intmin  3864  ralxfrALT  4467  ontr2exmid  4524  reg2exmidlema  4533  0elsucexmid  4564  funcnvuni  5285  acexmidlemcase  5869  tfrlem1  6308  tfrlem9  6319  oawordriexmid  6470  nneneq  6856  diffitest  6886  xpfi  6928  ordiso2  7033  exmidontriimlem3  7221  prnmaxl  7486  prnminu  7487  cauappcvgprlemm  7643  cauappcvgprlemladdru  7654  cauappcvgprlemladdrl  7655  caucvgsrlemcl  7787  caucvgsrlemfv  7789  caucvgsr  7800  axcaucvglemres  7897  lbreu  8901  nnsub  8957  supinfneg  9594  infsupneg  9595  ublbneg  9612  fzrevral  10104  seq3caopr3  10480  seq3id3  10506  recan  11117  cau3lem  11122  caubnd2  11125  climshftlemg  11309  subcn2  11318  climcau  11354  serf0  11359  sumdc  11365  isumrpcl  11501  clim2prod  11546  prodmodclem2  11584  ndvdssub  11934  zsupcllemex  11946  dfgcd3  12010  dfgcd2  12014  coprmgcdb  12087  coprmdvds1  12090  nprm  12122  dvdsprm  12136  coprm  12143  sqrt2irr  12161  pcmpt  12340  pcmptdvds  12342  pcfac  12347  prmpwdvds  12352  lidrididd  12800  dfgrp2  12901  grpidinv2  12927  dfgrp3mlem  12967  issubg4m  13051  srgrz  13165  srglz  13166  srgisid  13167  islmodd  13381  cnpnei  13689  lmss  13716  txlm  13749  psmet0  13797  metss  13964  metcnp3  13981  mulc1cncf  14046  cncfco  14048  2sqlem6  14437  2sqlem10  14442  bj-indsuc  14650  bj-inf2vnlem2  14693  trirec0  14762  iswomni0  14769  neap0mkv  14786