Theorem sbcnel12g 3024

Description: Distribute proper substitution through negated membership. (Contributed by Andrew Salmon, 18-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sbcnel12g	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B e/ C <-> [_ A / x ]_ B e/ [_ A / x ]_ C ) )

Proof of Theorem sbcnel12g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 2405	. . . 4 |- ( B e/ C <-> -. B e. C )
2	1	sbcbii 2972	. . 3 |- ( [. A / x ]. B e/ C <-> [. A / x ]. -. B e. C )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B e/ C <-> [. A / x ]. -. B e. C ) )
4		sbcng 2953	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. -. B e. C <-> -. [. A / x ]. B e. C ) )
5		sbcel12g 3022	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B e. C <-> [_ A / x ]_ B e. [_ A / x ]_ C ) )
6	5	notbid 657	. . 3 |- ( A e. V -> ( -. [. A / x ]. B e. C <-> -. [_ A / x ]_ B e. [_ A / x ]_ C ) )
7		df-nel 2405	. . 3 |- ( [_ A / x ]_ B e/ [_ A / x ]_ C <-> -. [_ A / x ]_ B e. [_ A / x ]_ C )
8	6, 7	syl6bbr 197	. 2 |- ( A e. V -> ( -. [. A / x ]. B e. C <-> [_ A / x ]_ B e/ [_ A / x ]_ C ) )
9	3, 4, 8	3bitrd 213	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. B e/ C <-> [_ A / x ]_ B e/ [_ A / x ]_ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1481   e/ wnel 2404   [.wsbc 2913   [_csb 3007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-nel 2405  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008

This theorem is referenced by: (None)