Theorem sess2 4374

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sess2	|- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Proof of Theorem sess2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3248	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V ) )
2		rabss2 3267	. . . . 5 |- ( A C_ B -> { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } )
3		ssexg 4173	. . . . . 6 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } /\ { y e. B | y R x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
4	3	ex 115	. . . . 5 |- ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6	5	ralimdv 2565	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
7	1, 6	syld 45	. 2 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8		df-se 4369	. 2 |- ( R Se B <-> A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V )
9		df-se 4369	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	3imtr4g 205	1 |- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   Se wse 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rab 2484  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-se 4369

This theorem is referenced by:  seeq2  4376