Theorem sess2 4356

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sess2	|- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Proof of Theorem sess2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssralv 3234	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V ) )
2		rabss2 3253	. . . . 5 |- ( A C_ B -> { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } )
3		ssexg 4157	. . . . . 6 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } /\ { y e. B | y R x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
4	3	ex 115	. . . . 5 |- ( { y e. A | y R x } C_ { y e. B | y R x } -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( { y e. B | y R x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6	5	ralimdv 2558	. . 3 |- ( A C_ B -> ( A. x e. A { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
7	1, 6	syld 45	. 2 |- ( A C_ B -> ( A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8		df-se 4351	. 2 |- ( R Se B <-> A. x e. B { y e. B | y R x } e. _V )
9		df-se 4351	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	3imtr4g 205	1 |- ( A C_ B -> ( R Se B -> R Se A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   class class class wbr 4018   Se wse 4347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rab 2477  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-se 4351

This theorem is referenced by:  seeq2  4358