Theorem sess1 4131

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sess1	|- ( R C_ S -> ( S Se A -> R Se A ) )

Proof of Theorem sess1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . . . 6 |- ( ( R C_ S /\ y e. A ) -> R C_ S )
2	1	ssbrd 3855	. . . . 5 |- ( ( R C_ S /\ y e. A ) -> ( y R x -> y S x ) )
3	2	ss2rabdv 3088	. . . 4 |- ( R C_ S -> { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } )
4		ssexg 3946	. . . . 5 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } /\ { y e. A | y S x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
5	4	ex 113	. . . 4 |- ( { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } -> ( { y e. A | y S x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( R C_ S -> ( { y e. A | y S x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
7	6	ralimdv 2438	. 2 |- ( R C_ S -> ( A. x e. A { y e. A | y S x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8		df-se 4127	. 2 |- ( S Se A <-> A. x e. A { y e. A | y S x } e. _V )
9		df-se 4127	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	3imtr4g 203	1 |- ( R C_ S -> ( S Se A -> R Se A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1436   A.wral 2355   {crab 2359   _Vcvv 2614   C_ wss 2986   class class class wbr 3814   Se wse 4123

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rab 2364  df-v 2616  df-in 2992  df-ss 2999  df-br 3815  df-se 4127

This theorem is referenced by:  seeq1  4133