Theorem sess1 4309

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sess1	|- ( R C_ S -> ( S Se A -> R Se A ) )

Proof of Theorem sess1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( R C_ S /\ y e. A ) -> R C_ S )
2	1	ssbrd 4019	. . . . 5 |- ( ( R C_ S /\ y e. A ) -> ( y R x -> y S x ) )
3	2	ss2rabdv 3218	. . . 4 |- ( R C_ S -> { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } )
4		ssexg 4115	. . . . 5 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } /\ { y e. A | y S x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
5	4	ex 114	. . . 4 |- ( { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } -> ( { y e. A | y S x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( R C_ S -> ( { y e. A | y S x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
7	6	ralimdv 2532	. 2 |- ( R C_ S -> ( A. x e. A { y e. A | y S x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8		df-se 4305	. 2 |- ( S Se A <-> A. x e. A { y e. A | y S x } e. _V )
9		df-se 4305	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	3imtr4g 204	1 |- ( R C_ S -> ( S Se A -> R Se A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2135   A.wral 2442   {crab 2446   _Vcvv 2721   C_ wss 3111   class class class wbr 3976   Se wse 4301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-sep 4094

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rab 2451  df-v 2723  df-in 3117  df-ss 3124  df-br 3977  df-se 4305

This theorem is referenced by:  seeq1  4311