Theorem sess1 4315

Description: Subset theorem for the set-like predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sess1	|- ( R C_ S -> ( S Se A -> R Se A ) )

Proof of Theorem sess1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( R C_ S /\ y e. A ) -> R C_ S )
2	1	ssbrd 4025	. . . . 5 |- ( ( R C_ S /\ y e. A ) -> ( y R x -> y S x ) )
3	2	ss2rabdv 3223	. . . 4 |- ( R C_ S -> { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } )
4		ssexg 4121	. . . . 5 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } /\ { y e. A | y S x } e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
5	4	ex 114	. . . 4 |- ( { y e. A | y R x } C_ { y e. A | y S x } -> ( { y e. A | y S x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
6	3, 5	syl 14	. . 3 |- ( R C_ S -> ( { y e. A | y S x } e. _V -> { y e. A | y R x } e. _V ) )
7	6	ralimdv 2534	. 2 |- ( R C_ S -> ( A. x e. A { y e. A | y S x } e. _V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V ) )
8		df-se 4311	. 2 |- ( S Se A <-> A. x e. A { y e. A | y S x } e. _V )
9		df-se 4311	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	3imtr4g 204	1 |- ( R C_ S -> ( S Se A -> R Se A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   Se wse 4307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rab 2453  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-br 3983  df-se 4311

This theorem is referenced by:  seeq1  4317