Theorem sscoll2 15193

Description: Version of ax-sscoll 15192 with two disjoint variable conditions removed and without initial universal quantifiers. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sscoll2	|- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, x, y, z   ph, c, d

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, a, b)

Proof of Theorem sscoll2

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> u = a )
2		rexeq 2687	. . . . . . 7 |- ( v = b -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
4	1, 3	raleqbidv 2698	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. x e. u E. y e. v ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
5		eleq2 2253	. . . . . . . . . 10 |- ( u = a -> ( x e. u <-> x e. a ) )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( x e. u <-> x e. a ) )
7	6	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( x e. u -> E. y e. d ph ) <-> ( x e. a -> E. y e. d ph ) ) )
8	7	ralbidv2 2492	. . . . . . 7 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. x e. u E. y e. d ph <-> A. x e. a E. y e. d ph ) )
9	6	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( x e. u /\ ph ) <-> ( x e. a /\ ph ) ) )
10	9	rexbidv2 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. x e. u ph <-> E. x e. a ph ) )
11	10	ralbidv 2490	. . . . . . 7 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. y e. d E. x e. u ph <-> A. y e. d E. x e. a ph ) )
12	8, 11	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) )
13	12	rexbidv 2491	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) <-> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) )
14	4, 13	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
15	14	albidv 1835	. . 3 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
16	15	exbidv 1836	. 2 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
17		ax-sscoll 15192	. . . 4 |- A. u A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
18	17	spi 1547	. . 3 |- A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
19	18	spi 1547	. 2 |- E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
20	16, 19	ch2varv 14973	1 |- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   E.wex 1503   A.wral 2468   E.wrex 2469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sscoll 15192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474

This theorem is referenced by: (None)