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Theorem sscoll2 13216
Description: Version of ax-sscoll 13215 with two disjoint variable conditions removed and without initial universal quantifiers. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
sscoll2  |-  E. c A. z ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) )
Distinct variable groups:    a, b, c, d, x, y, z    ph, c, d
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, a, b)

Proof of Theorem sscoll2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . . 3  |-  F/ c ( u  =  a  /\  v  =  b )
2 nfv 1508 . . . 4  |-  F/ z ( u  =  a  /\  v  =  b )
3 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  u  =  a )
4 rexeq 2627 . . . . . . 7  |-  ( v  =  b  ->  ( E. y  e.  v  ph 
<->  E. y  e.  b 
ph ) )
54adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( E. y  e.  v  ph  <->  E. y  e.  b  ph ) )
63, 5raleqbidv 2638 . . . . 5  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  <->  A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph ) )
7 nfv 1508 . . . . . 6  |-  F/ d ( u  =  a  /\  v  =  b )
8 nfv 1508 . . . . . . 7  |-  F/ y ( u  =  a  /\  v  =  b )
9 rexeq 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  a  ->  ( E. x  e.  u  ph  <->  E. x  e.  a  ph ) )
109adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( E. x  e.  u  ph  <->  E. x  e.  a  ph ) )
1110bibi2d 231 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph )  <->  ( y  e.  d  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
128, 11albid 1594 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph )  <->  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
137, 12rexbid 2436 . . . . 5  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( E. d  e.  c  A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph )  <->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
146, 13imbi12d 233 . . . 4  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )  <->  ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c 
A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
152, 14albid 1594 . . 3  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c 
A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )  <->  A. z ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
161, 15exbid 1595 . 2  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( E. c A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )  <->  E. c A. z ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
17 ax-sscoll 13215 . . . 4  |-  A. u A. v E. c A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )
1817spi 1516 . . 3  |-  A. v E. c A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c 
A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )
1918spi 1516 . 2  |-  E. c A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )
2016, 19ch2varv 13005 1  |-  E. c A. z ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1329   E.wex 1468   A.wral 2416   E.wrex 2417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sscoll 13215
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422
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