Theorem sscoll2 13870

Description: Version of ax-sscoll 13869 with two disjoint variable conditions removed and without initial universal quantifiers. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sscoll2	|- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, x, y, z   ph, c, d

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, a, b)

Proof of Theorem sscoll2

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> u = a )
2		rexeq 2662	. . . . . . 7 |- ( v = b -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
3	2	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
4	1, 3	raleqbidv 2673	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. x e. u E. y e. v ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
5		eleq2 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( u = a -> ( x e. u <-> x e. a ) )
6	5	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( x e. u <-> x e. a ) )
7	6	imbi1d 230	. . . . . . . 8 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( x e. u -> E. y e. d ph ) <-> ( x e. a -> E. y e. d ph ) ) )
8	7	ralbidv2 2468	. . . . . . 7 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. x e. u E. y e. d ph <-> A. x e. a E. y e. d ph ) )
9	6	anbi1d 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( x e. u /\ ph ) <-> ( x e. a /\ ph ) ) )
10	9	rexbidv2 2469	. . . . . . . 8 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. x e. u ph <-> E. x e. a ph ) )
11	10	ralbidv 2466	. . . . . . 7 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. y e. d E. x e. u ph <-> A. y e. d E. x e. a ph ) )
12	8, 11	anbi12d 465	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) )
13	12	rexbidv 2467	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) <-> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) )
14	4, 13	imbi12d 233	. . . 4 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
15	14	albidv 1812	. . 3 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
16	15	exbidv 1813	. 2 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
17		ax-sscoll 13869	. . . 4 |- A. u A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
18	17	spi 1524	. . 3 |- A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
19	18	spi 1524	. 2 |- E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
20	16, 19	ch2varv 13649	1 |- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   E.wex 1480   A.wral 2444   E.wrex 2445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sscoll 13869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450

This theorem is referenced by: (None)