Theorem sscoll2 15924

Description: Version of ax-sscoll 15923 with two disjoint variable conditions removed and without initial universal quantifiers. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sscoll2	|- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, x, y, z   ph, c, d

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, a, b)

Proof of Theorem sscoll2

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> u = a )
2		rexeq 2703	. . . . . . 7 |- ( v = b -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. y e. v ph <-> E. y e. b ph ) )
4	1, 3	raleqbidv 2718	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. x e. u E. y e. v ph <-> A. x e. a E. y e. b ph ) )
5		eleq2 2269	. . . . . . . . . 10 |- ( u = a -> ( x e. u <-> x e. a ) )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( x e. u <-> x e. a ) )
7	6	imbi1d 231	. . . . . . . 8 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( x e. u -> E. y e. d ph ) <-> ( x e. a -> E. y e. d ph ) ) )
8	7	ralbidv2 2508	. . . . . . 7 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. x e. u E. y e. d ph <-> A. x e. a E. y e. d ph ) )
9	6	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( x e. u /\ ph ) <-> ( x e. a /\ ph ) ) )
10	9	rexbidv2 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. x e. u ph <-> E. x e. a ph ) )
11	10	ralbidv 2506	. . . . . . 7 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. y e. d E. x e. u ph <-> A. y e. d E. x e. a ph ) )
12	8, 11	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) <-> ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) )
13	12	rexbidv 2507	. . . . 5 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) <-> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) )
14	4, 13	imbi12d 234	. . . 4 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
15	14	albidv 1847	. . 3 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
16	15	exbidv 1848	. 2 |- ( ( u = a /\ v = b ) -> ( E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) ) <-> E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) ) ) )
17		ax-sscoll 15923	. . . 4 |- A. u A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
18	17	spi 1559	. . 3 |- A. v E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
19	18	spi 1559	. 2 |- E. c A. z ( A. x e. u E. y e. v ph -> E. d e. c ( A. x e. u E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. u ph ) )
20	16, 19	ch2varv 15704	1 |- E. c A. z ( A. x e. a E. y e. b ph -> E. d e. c ( A. x e. a E. y e. d ph /\ A. y e. d E. x e. a ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   E.wex 1515   A.wral 2484   E.wrex 2485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sscoll 15923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490

This theorem is referenced by: (None)