Theorem raleqbidv 2641

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
raleqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
raleqbidv	|- ( ph -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. B ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem raleqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	raleqdv 2635	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. B ps ) )
3		raleqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
4	3	ralbidv 2438	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. x e. B ch ) )
5	2, 4	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( A. x e. A ps <-> A. x e. B ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   A.wral 2417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422

This theorem is referenced by:  ofrfval  5998  fmpox  6106  tfrlemi1  6237  supeq123d  6886  cvg1nlemcau  10788  cvg1nlemres  10789  cau3lem  10918  fsum2dlemstep  11235  fisumcom2  11239  istopg  12205  restbasg  12376  cnfval  12402  cnpfval  12403  txbas  12466  limccl  12836  sscoll2  13357