Theorem dmiin 4871

Description: Domain of an intersection. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dmiin	|- dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B

Proof of Theorem dmiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfii1 3917	. . . 4 |- F/_ x |^|_ x e. A B
2	1	nfdm 4869	. . 3 |- F/_ x dom |^|_ x e. A B
3	2	ssiinf 3935	. 2 |- ( dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B <-> A. x e. A dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
4		iinss2 3938	. . 3 |- ( x e. A -> |^|_ x e. A B C_ B )
5		dmss 4824	. . 3 |- ( |^|_ x e. A B C_ B -> dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( x e. A -> dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
7	3, 6	mprgbir 2535	1 |- dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B

Syntax hints:   e. wcel 2148   C_ wss 3129   |^|_ciin 3887   dom cdm 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-iin 3889  df-br 4003  df-dm 4635

This theorem is referenced by: (None)