Theorem dmiin 4857

Description: Domain of an intersection. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dmiin	|- dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B

Proof of Theorem dmiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfii1 3904	. . . 4 |- F/_ x |^|_ x e. A B
2	1	nfdm 4855	. . 3 |- F/_ x dom |^|_ x e. A B
3	2	ssiinf 3922	. 2 |- ( dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B <-> A. x e. A dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
4		iinss2 3925	. . 3 |- ( x e. A -> |^|_ x e. A B C_ B )
5		dmss 4810	. . 3 |- ( |^|_ x e. A B C_ B -> dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( x e. A -> dom |^|_ x e. A B C_ dom B )
7	3, 6	mprgbir 2528	1 |- dom |^|_ x e. A B C_ |^|_ x e. A dom B

Syntax hints:   e. wcel 2141   C_ wss 3121   |^|_ciin 3874   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-iin 3876  df-br 3990  df-dm 4621

This theorem is referenced by: (None)