Theorem pwprss 3785

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwprss	|- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Proof of Theorem pwprss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	elpr 3597	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , { A } } <-> ( x = (/) \/ x = { A } ) )
3	1	elpr 3597	. . . . 5 |- ( x e. { { B } , { A , B } } <-> ( x = { B } \/ x = { A , B } ) )
4	2, 3	orbi12i 754	. . . 4 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
5		ssprr 3736	. . . 4 |- ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) -> x C_ { A , B } )
6	4, 5	sylbi 120	. . 3 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) -> x C_ { A , B } )
7		elun 3263	. . 3 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
8	1	elpw 3565	. . 3 |- ( x e. ~P { A , B } <-> x C_ { A , B } )
9	6, 7, 8	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) -> x e. ~P { A , B } )
10	9	ssriv 3146	1 |- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Syntax hints:   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ~Pcpw 3559   {csn 3576   {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  pwpwpw0ss  3787  ord3ex  4169