Theorem pwprss 3835

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwprss	|- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Proof of Theorem pwprss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	elpr 3643	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , { A } } <-> ( x = (/) \/ x = { A } ) )
3	1	elpr 3643	. . . . 5 |- ( x e. { { B } , { A , B } } <-> ( x = { B } \/ x = { A , B } ) )
4	2, 3	orbi12i 765	. . . 4 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
5		ssprr 3786	. . . 4 |- ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) -> x C_ { A , B } )
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) -> x C_ { A , B } )
7		elun 3304	. . 3 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
8	1	elpw 3611	. . 3 |- ( x e. ~P { A , B } <-> x C_ { A , B } )
9	6, 7, 8	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) -> x e. ~P { A , B } )
10	9	ssriv 3187	1 |- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Syntax hints:   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ~Pcpw 3605   {csn 3622   {cpr 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629

This theorem is referenced by:  pwpwpw0ss  3837  ord3ex  4223