Theorem pwprss 3855

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwprss	|- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Proof of Theorem pwprss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2776	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	elpr 3659	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , { A } } <-> ( x = (/) \/ x = { A } ) )
3	1	elpr 3659	. . . . 5 |- ( x e. { { B } , { A , B } } <-> ( x = { B } \/ x = { A , B } ) )
4	2, 3	orbi12i 766	. . . 4 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
5		ssprr 3805	. . . 4 |- ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) -> x C_ { A , B } )
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) -> x C_ { A , B } )
7		elun 3318	. . 3 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
8	1	elpw 3627	. . 3 |- ( x e. ~P { A , B } <-> x C_ { A , B } )
9	6, 7, 8	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) -> x e. ~P { A , B } )
10	9	ssriv 3201	1 |- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Syntax hints:   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2177   u. cun 3168   C_ wss 3170   (/)c0 3464   ~Pcpw 3621   {csn 3638   {cpr 3639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645

This theorem is referenced by:  pwpwpw0ss  3857  ord3ex  4245