Theorem pwprss 3727

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwprss	|- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Proof of Theorem pwprss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2684	. . . . . 6 |- x e. _V
2	1	elpr 3543	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , { A } } <-> ( x = (/) \/ x = { A } ) )
3	1	elpr 3543	. . . . 5 |- ( x e. { { B } , { A , B } } <-> ( x = { B } \/ x = { A , B } ) )
4	2, 3	orbi12i 753	. . . 4 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
5		ssprr 3678	. . . 4 |- ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) -> x C_ { A , B } )
6	4, 5	sylbi 120	. . 3 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) -> x C_ { A , B } )
7		elun 3212	. . 3 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
8	1	elpw 3511	. . 3 |- ( x e. ~P { A , B } <-> x C_ { A , B } )
9	6, 7, 8	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) -> x e. ~P { A , B } )
10	9	ssriv 3096	1 |- ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) C_ ~P { A , B }

Syntax hints:   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3064   C_ wss 3066   (/)c0 3358   ~Pcpw 3505   {csn 3522   {cpr 3523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529

This theorem is referenced by:  pwpwpw0ss  3729  ord3ex  4109