Theorem sucprc 4448

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4407	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
2		snprc 3688	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		uneq2 3312	. . . 4 |- ( { A } = (/) -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
5	1, 4	eqtrid 2241	. 2 |- ( -. A e. _V -> suc A = ( A u. (/) ) )
6		un0 3485	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
7	5, 6	eqtrdi 2245	1 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   (/)c0 3451   {csn 3623   suc csuc 4401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-nul 3452  df-sn 3629  df-suc 4407

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4586  sucon  4590