Theorem sucprc 4538

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4497	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
2		snprc 3759	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		uneq2 3371	. . . 4 |- ( { A } = (/) -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
5	1, 4	eqtrid 2279	. 2 |- ( -. A e. _V -> suc A = ( A u. (/) ) )
6		un0 3546	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
7	5, 6	eqtrdi 2283	1 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3212   (/)c0 3512   {csn 3694   suc csuc 4491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-nul 3513  df-sn 3700  df-suc 4497

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4676  sucon  4680