Theorem sucprc 4342

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4301	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
2		snprc 3596	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		uneq2 3229	. . . 4 |- ( { A } = (/) -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
5	1, 4	syl5eq 2185	. 2 |- ( -. A e. _V -> suc A = ( A u. (/) ) )
6		un0 3401	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
7	5, 6	eqtrdi 2189	1 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   (/)c0 3368   {csn 3532   suc csuc 4295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-nul 3369  df-sn 3538  df-suc 4301

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4472  sucon  4476