Theorem sucprc 4372

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4331	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
2		snprc 3624	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		uneq2 3255	. . . 4 |- ( { A } = (/) -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
5	1, 4	syl5eq 2202	. 2 |- ( -. A e. _V -> suc A = ( A u. (/) ) )
6		un0 3427	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
7	5, 6	eqtrdi 2206	1 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   u. cun 3100   (/)c0 3394   {csn 3560   suc csuc 4325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-nul 3395  df-sn 3566  df-suc 4331

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4508  sucon  4512