Theorem sucprc 4248

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4207	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
2		snprc 3511	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		uneq2 3149	. . . 4 |- ( { A } = (/) -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
4	2, 3	sylbi 120	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
5	1, 4	syl5eq 2133	. 2 |- ( -. A e. _V -> suc A = ( A u. (/) ) )
6		un0 3320	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
7	5, 6	syl6eq 2137	1 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1290   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   u. cun 2998   (/)c0 3287   {csn 3450   suc csuc 4201

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-nul 3288  df-sn 3456  df-suc 4207

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4378  sucon  4382