Theorem sucprc 4430

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4389	. . 3 |- suc A = ( A u. { A } )
2		snprc 3672	. . . 4 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )
3		uneq2 3298	. . . 4 |- ( { A } = (/) -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
4	2, 3	sylbi 121	. . 3 |- ( -. A e. _V -> ( A u. { A } ) = ( A u. (/) ) )
5	1, 4	eqtrid 2234	. 2 |- ( -. A e. _V -> suc A = ( A u. (/) ) )
6		un0 3471	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
7	5, 6	eqtrdi 2238	1 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   u. cun 3142   (/)c0 3437   {csn 3607   suc csuc 4383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-nul 3438  df-sn 3613  df-suc 4389

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4566  sucon  4570