Theorem sucprc 4390

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4349	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2		snprc 3641	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
3		uneq2 3270	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐴 ∪ ∅))
4	2, 3	sylbi 120	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐴 ∪ ∅))
5	1, 4	syl5eq 2211	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = (𝐴 ∪ ∅))
6		un0 3442	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
7	5, 6	eqtrdi 2215	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  ∅c0 3409  {csn 3576  suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-nul 3410  df-sn 3582  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4526  sucon  4530