Theorem sucprc 4414

Description: A proper class is its own successor. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
sucprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4373	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
2		snprc 3659	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
3		uneq2 3285	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐴 ∪ ∅))
4	2, 3	sylbi 121	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐴 ∪ ∅))
5	1, 4	eqtrid 2222	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = (𝐴 ∪ ∅))
6		un0 3458	. 2 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
7	5, 6	eqtrdi 2226	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∪ cun 3129  ∅c0 3424  {csn 3594  suc csuc 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-nul 3425  df-sn 3600  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  sucprcreg  4550  sucon  4554