Theorem un0 3542

Description: The union of a class with the empty set is itself. Theorem 24 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
un0	|- ( A u. (/) ) = A

Proof of Theorem un0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3512	. . . 4 |- -. x e. (/)
2	1	biorfi 754	. . 3 |- ( x e. A <-> ( x e. A \/ x e. (/) ) )
3	2	bicomi 132	. 2 |- ( ( x e. A \/ x e. (/) ) <-> x e. A )
4	3	uneqri 3361	1 |- ( A u. (/) ) = A

Syntax hints:   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3209   (/)c0 3508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-nul 3509

This theorem is referenced by:  un00  3555  disjssun  3572  difun2  3589  difdifdirss  3594  if0ab  3623  disjpr2  3753  prprc1  3800  diftpsn3  3835  iununir  4075  exmid1stab  4321  suc0  4532  sucprc  4533  fresaunres2disj  5545  fvun1  5743  fmptpr  5876  fvunsng  5878  fvsnun1  5881  fvsnun2  5882  fsnunfv  5885  fsnunres  5886  rdg0  6618  omv2  6698  unsnfidcex  7180  unfidisj  7182  undifdc  7184  ssfirab  7197  dju0en  7521  djuassen  7524  fzsuc2  10413  fseq1p1m1  10428  hashunlem  11168  ennnfonelem1  13158  setsresg  13250  setsslid  13263  lgsquadlem2  15951  gfsump1  16868