Theorem un0 3556

Description: The union of a class with the empty set is itself. Dual of inv1 3559. Theorem 24 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
un0	|- ( A u. (/) ) = A

Proof of Theorem un0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. . . 4 |- -. x e. (/)
2	1	biorfi 758	. . 3 |- ( x e. A <-> ( x e. A \/ x e. (/) ) )
3	2	bicomi 132	. 2 |- ( ( x e. A \/ x e. (/) ) <-> x e. A )
4	3	uneqri 3371	1 |- ( A u. (/) ) = A

Syntax hints:   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   (/)c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  un00  3566  disjssun  3587  difun2  3604  difdifdirss  3609  if0ab  3638  disjpr2  3769  prprc1  3816  diftpsn3  3851  iununir  4091  exmid1stab  4340  suc0  4551  sucprc  4552  fresaunres2disj  5565  fvun1  5763  fmptpr  5898  fvunsng  5900  fvsnun1  5903  fvsnun2  5904  fsnunfv  5907  fsnunres  5908  rdg0  6648  omv2  6728  unsnfidcex  7217  unfidisj  7219  undifdc  7221  ssfirab  7234  dju0en  7560  djuassen  7563  fzsuc2  10464  fseq1p1m1  10479  hashunlem  11222  ballotfilemfp1  13209  ennnfonelem1  13276  setsresg  13368  setsslid  13381  gsump1  14134  lgsquadlem2  16111