Theorem snprc 3683

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3635	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1616	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 669	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3465	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1510	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 184	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2766	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 669	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 213	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   {csn 3618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3155  df-nul 3447  df-sn 3624

This theorem is referenced by:  prprc1  3726  prprc  3728  snexprc  4215  sucprc  4443  snnen2oprc  6916  unsnfidcex  6976