Theorem snprc 3654

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3606	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1603	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 668	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3439	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1497	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 184	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2741	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 668	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 213	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   (/)c0 3420   {csn 3589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-v 2737  df-dif 3129  df-nul 3421  df-sn 3595

This theorem is referenced by:  prprc1  3697  prprc  3699  snexprc  4181  sucprc  4406  snnen2oprc  6850  unsnfidcex  6909