Theorem snprc 3583

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3539	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1584	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 657	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3376	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1475	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 183	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2687	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 657	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 212	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   (/)c0 3358   {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-nul 3359  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  prprc1  3626  prprc  3628  snexprc  4105  sucprc  4329  snnen2oprc  6747  unsnfidcex  6801