Theorem snprc 3698

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3650	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1628	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 670	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3479	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1522	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 184	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2778	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 670	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 213	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   {csn 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-nul 3461  df-sn 3639

This theorem is referenced by:  prprc1  3741  prprc  3743  snexprc  4230  sucprc  4459  snnen2oprc  6957  unsnfidcex  7017