Theorem snprc 3502

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3458	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1541	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 629	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3299	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1433	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 182	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2625	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 629	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 211	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 103   A.wal 1287   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   (/)c0 3284   {csn 3441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-nul 3285  df-sn 3447

This theorem is referenced by:  prprc1  3545  prprc  3547  snexprc  4012  sucprc  4230  snnen2oprc  6556  unsnfidcex  6610