Theorem snprc 3481

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3439	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1537	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 627	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3284	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1429	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 182	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2616	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 627	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 211	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 103   A.wal 1283   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   _Vcvv 2612   (/)c0 3269   {csn 3422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2614  df-dif 2986  df-nul 3270  df-sn 3428

This theorem is referenced by:  prprc1  3524  prprc  3526  snexprc  3985  sucprc  4203  snnen2oprc  6506  unsnfidcex  6557