Theorem snprc 3641

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3593	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1593	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 658	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3427	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1487	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 183	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2732	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 658	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 212	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   {csn 3576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-nul 3410  df-sn 3582

This theorem is referenced by:  prprc1  3684  prprc  3686  snexprc  4165  sucprc  4390  snnen2oprc  6826  unsnfidcex  6885