Theorem snprc 3635

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3587	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1592	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 658	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3422	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1486	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 183	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2727	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 658	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 212	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1340   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   (/)c0 3404   {csn 3570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-dif 3113  df-nul 3405  df-sn 3576

This theorem is referenced by:  prprc1  3678  prprc  3680  snexprc  4159  sucprc  4384  snnen2oprc  6817  unsnfidcex  6876