Theorem snprc 3687

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3639	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1619	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 669	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3469	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1513	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 184	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2769	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 669	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 213	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   {csn 3622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-nul 3451  df-sn 3628

This theorem is referenced by:  prprc1  3730  prprc  3732  snexprc  4219  sucprc  4447  snnen2oprc  6921  unsnfidcex  6981