Theorem snprc 3648

Description: The singleton of a proper class (one that doesn't exist) is the empty set. Theorem 7.2 of [Quine] p. 48. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
snprc	|- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Proof of Theorem snprc

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3600	. . . 4 |- ( x e. { A } <-> x = A )
2	1	exbii 1598	. . 3 |- ( E. x x e. { A } <-> E. x x = A )
3	2	notbii 663	. 2 |- ( -. E. x x e. { A } <-> -. E. x x = A )
4		eq0 3433	. . 3 |- ( { A } = (/) <-> A. x -. x e. { A } )
5		alnex 1492	. . 3 |- ( A. x -. x e. { A } <-> -. E. x x e. { A } )
6	4, 5	bitri 183	. 2 |- ( { A } = (/) <-> -. E. x x e. { A } )
7		isset 2736	. . 3 |- ( A e. _V <-> E. x x = A )
8	7	notbii 663	. 2 |- ( -. A e. _V <-> -. E. x x = A )
9	3, 6, 8	3bitr4ri 212	1 |- ( -. A e. _V <-> { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   {csn 3583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-nul 3415  df-sn 3589

This theorem is referenced by:  prprc1  3691  prprc  3693  snexprc  4172  sucprc  4397  snnen2oprc  6838  unsnfidcex  6897