Theorem elni2 7316

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni2	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7311	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		0npi 7315	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
3		eleq1 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ N ↔ ∅ ∈ N))
4	2, 3	mtbiri 675	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ N)
5	4	con2i 627	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 = ∅)
6		0elnn 4620	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8	7	ord 724	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (¬ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
9	5, 8	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
10	1, 9	jca 306	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
11		nndceq0 4619	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → DECID 𝐴 = ∅)
12		df-dc 835	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
13	11, 12	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
14	13	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
15		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
16		andi 818	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
17	15, 16	bitr3i 186	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
18	14, 17	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
19		noel 3428	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
20		eleq2 2241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ ∅))
21	19, 20	mtbiri 675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
22	21	pm2.21d 619	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ N))
23	22	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N)
24	23	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N))
25		df-ne 2348	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
26		elni 7310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
27	26	simplbi2 385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ N))
28	25, 27	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ N))
29	28	adantld 278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N))
30	24, 29	jaod 717	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴 ∈ N))
31	30	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴 ∈ N))
32	18, 31	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ N)
33	10, 32	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∅c0 3424  ωcom 4591  Ncnpi 7274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-suc 4373  df-iom 4592  df-ni 7306

This theorem is referenced by:  addclpi  7329  mulclpi  7330  mulcanpig  7337  addnidpig  7338  ltexpi  7339  ltmpig  7341  nnppipi  7345  archnqq  7419  enq0tr  7436