Theorem elni2 7457

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni2	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7452	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		0npi 7456	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
3		eleq1 2269	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ N ↔ ∅ ∈ N))
4	2, 3	mtbiri 677	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ N)
5	4	con2i 628	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 = ∅)
6		0elnn 4680	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8	7	ord 726	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (¬ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
9	5, 8	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
10	1, 9	jca 306	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
11		nndceq0 4679	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → DECID 𝐴 = ∅)
12		df-dc 837	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
13	11, 12	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
14	13	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
15		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
16		andi 820	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
17	15, 16	bitr3i 186	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
18	14, 17	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
19		noel 3468	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
20		eleq2 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ ∅))
21	19, 20	mtbiri 677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
22	21	pm2.21d 620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ N))
23	22	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N)
24	23	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N))
25		df-ne 2378	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
26		elni 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
27	26	simplbi2 385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ N))
28	25, 27	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ N))
29	28	adantld 278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N))
30	24, 29	jaod 719	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴 ∈ N))
31	30	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴 ∈ N))
32	18, 31	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ N)
33	10, 32	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∅c0 3464  ωcom 4651  Ncnpi 7415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-uni 3860  df-int 3895  df-suc 4431  df-iom 4652  df-ni 7447

This theorem is referenced by:  addclpi  7470  mulclpi  7471  mulcanpig  7478  addnidpig  7479  ltexpi  7480  ltmpig  7482  nnppipi  7486  archnqq  7560  enq0tr  7577