ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elni2 GIF version

Theorem elni2 6775
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
elni2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 pinn 6770 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 0npi 6774 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ N
3 eleq1 2145 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴N ↔ ∅ ∈ N))
42, 3mtbiri 633 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴N)
54con2i 590 . . . 4 (𝐴N → ¬ 𝐴 = ∅)
6 0elnn 4394 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝐴N → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
87ord 676 . . . 4 (𝐴N → (¬ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
95, 8mpd 13 . . 3 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
101, 9jca 300 . 2 (𝐴N → (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
11 nndceq0 4393 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → DECID 𝐴 = ∅)
12 df-dc 777 . . . . . 6 (DECID 𝐴 = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
1311, 12sylib 120 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
1413anim1i 333 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
15 ancom 262 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
16 andi 765 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
1715, 16bitr3i 184 . . . 4 (((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
1814, 17sylib 120 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
19 noel 3273 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ ∅
20 eleq2 2146 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ ∅))
2119, 20mtbiri 633 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
2221pm2.21d 582 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴𝐴N))
2322impcom 123 . . . . . 6 ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) → 𝐴N)
2423a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) → 𝐴N))
25 df-ne 2250 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
26 elni 6769 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2726simplbi2 377 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴N))
2825, 27syl5bir 151 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴N))
2928adantld 272 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴N))
3024, 29jaod 670 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴N))
3130adantr 270 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴N))
3218, 31mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴N)
3310, 32impbii 124 1 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  c0 3269  ωcom 4367  Ncnpi 6733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-uni 3628  df-int 3663  df-suc 4161  df-iom 4368  df-ni 6765
This theorem is referenced by:  addclpi  6788  mulclpi  6789  mulcanpig  6796  addnidpig  6797  ltexpi  6798  ltmpig  6800  nnppipi  6804  archnqq  6878  enq0tr  6895
  Copyright terms: Public domain W3C validator