Theorem elni2 7426

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni2	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		0npi 7425	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
3		eleq1 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ N ↔ ∅ ∈ N))
4	2, 3	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ N)
5	4	con2i 628	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → ¬ 𝐴 = ∅)
6		0elnn 4666	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
8	7	ord 725	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → (¬ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
9	5, 8	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ∅ ∈ 𝐴)
10	1, 9	jca 306	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
11		nndceq0 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → DECID 𝐴 = ∅)
12		df-dc 836	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝐴 = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
13	11, 12	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
14	13	anim1i 340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
15		ancom 266	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
16		andi 819	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
17	15, 16	bitr3i 186	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
18	14, 17	sylib 122	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
19		noel 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
20		eleq2 2268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ ∅))
21	19, 20	mtbiri 676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
22	21	pm2.21d 620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 → 𝐴 ∈ N))
23	22	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N)
24	23	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N))
25		df-ne 2376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
26		elni 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
27	26	simplbi2 385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ∈ N))
28	25, 27	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ N))
29	28	adantld 278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ N))
30	24, 29	jaod 718	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴 ∈ N))
31	30	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((∅ ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴 ∈ N))
32	18, 31	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ N)
33	10, 32	impbii 126	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  ∅c0 3459  ωcom 4637  Ncnpi 7384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-int 3885  df-suc 4417  df-iom 4638  df-ni 7416

This theorem is referenced by:  addclpi  7439  mulclpi  7440  mulcanpig  7447  addnidpig  7448  ltexpi  7449  ltmpig  7451  nnppipi  7455  archnqq  7529  enq0tr  7546