ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elni2 GIF version

Theorem elni2 6852
Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 27-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
elni2 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem elni2
StepHypRef Expression
1 pinn 6847 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 0npi 6851 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ N
3 eleq1 2150 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝐴N ↔ ∅ ∈ N))
42, 3mtbiri 635 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 𝐴N)
54con2i 592 . . . 4 (𝐴N → ¬ 𝐴 = ∅)
6 0elnn 4422 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝐴N → (𝐴 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝐴))
87ord 678 . . . 4 (𝐴N → (¬ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
95, 8mpd 13 . . 3 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
101, 9jca 300 . 2 (𝐴N → (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
11 nndceq0 4421 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → DECID 𝐴 = ∅)
12 df-dc 781 . . . . . 6 (DECID 𝐴 = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
1311, 12sylib 120 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅))
1413anim1i 333 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
15 ancom 262 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴))
16 andi 767 . . . . 5 ((∅ ∈ 𝐴 ∧ (𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅)) ↔ ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
1715, 16bitr3i 184 . . . 4 (((𝐴 = ∅ ∨ ¬ 𝐴 = ∅) ∧ ∅ ∈ 𝐴) ↔ ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
1814, 17sylib 120 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)))
19 noel 3288 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ ∅
20 eleq2 2151 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ ∅))
2119, 20mtbiri 635 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
2221pm2.21d 584 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (∅ ∈ 𝐴𝐴N))
2322impcom 123 . . . . . 6 ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) → 𝐴N)
2423a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) → 𝐴N))
25 df-ne 2256 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
26 elni 6846 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
2726simplbi2 377 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐴N))
2825, 27syl5bir 151 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴N))
2928adantld 272 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → 𝐴N))
3024, 29jaod 672 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴N))
3130adantr 270 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((∅ ∈ 𝐴𝐴 = ∅) ∨ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = ∅)) → 𝐴N))
3218, 31mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴) → 𝐴N)
3310, 32impbii 124 1 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  c0 3284  ωcom 4395  Ncnpi 6810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-suc 4189  df-iom 4396  df-ni 6842
This theorem is referenced by:  addclpi  6865  mulclpi  6866  mulcanpig  6873  addnidpig  6874  ltexpi  6875  ltmpig  6877  nnppipi  6881  archnqq  6955  enq0tr  6972
  Copyright terms: Public domain W3C validator