Theorem elni 7503

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7499	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2	1	eleq2i 2296	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ 𝐴 ∈ (ω ∖ {∅}))
3		eldifsn 3795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ∖ cdif 3194  ∅c0 3491  {csn 3666  ωcom 4682  Ncnpi 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2801  df-dif 3199  df-sn 3672  df-ni 7499

This theorem is referenced by:  0npi  7508  elni2  7509  1pi  7510  addclpi  7522  mulclpi  7523  nlt1pig  7536  indpi  7537  nqnq0pi  7633  prarloclemcalc  7697