Theorem elni 7571

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7567	. . 3 ⊢ N = (ω ∖ {∅})
2	1	eleq2i 2298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ 𝐴 ∈ (ω ∖ {∅}))
3		eldifsn 3804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
4	2, 3	bitri 184	1 ⊢ (𝐴 ∈ N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   ∖ cdif 3198  ∅c0 3496  {csn 3673  ωcom 4694  Ncnpi 7535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-v 2805  df-dif 3203  df-sn 3679  df-ni 7567

This theorem is referenced by:  0npi  7576  elni2  7577  1pi  7578  addclpi  7590  mulclpi  7591  nlt1pig  7604  indpi  7605  nqnq0pi  7701  prarloclemcalc  7765