Theorem eupickb 2136

Description: Existential uniqueness "pick" showing wff equivalence. (Contributed by NM, 25-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eupickb	⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Proof of Theorem eupickb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupick 2134	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 → 𝜓))
2	1	3adant2 1019	. 2 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 → 𝜓))
3		3simpc 999	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
4		pm3.22 265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜓 ∧ 𝜑))
5	4	eximi 1624	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑))
6	5	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑)))
7		eupick 2134	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝜓 → 𝜑))
8	3, 6, 7	3syl 17	. 2 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜓 → 𝜑))
9	2, 8	impbid 129	1 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981  ∃wex 1516  ∃!weu 2055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059

This theorem is referenced by: (None)