Theorem eupickbi 2169

Description: Theorem *14.26 in [WhiteheadRussell] p. 192. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eupickbi	⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Proof of Theorem eupickbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupicka 2167	. . 3 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
2	1	ex 115	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))
3		hba1 1593	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → ∀𝑥∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
4		ancl 318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
5		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
6	4, 5	impbid1 142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
7	6	sps 1590	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → (𝜑 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
8	3, 7	eubidh 2092	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → (∃!𝑥𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
9		euex 2116	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
10	8, 9	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → (∃!𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
11	10	com12 30	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∀𝑥(𝜑 → 𝜓) → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
12	2, 11	impbid 129	1 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1400  ∃wex 1545  ∃!weu 2086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090

This theorem is referenced by: (None)