ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eupickbi GIF version

Theorem eupickbi 2108
Description: Theorem *14.26 in [WhiteheadRussell] p. 192. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
eupickbi (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(𝜑𝜓)))

Proof of Theorem eupickbi
StepHypRef Expression
1 eupicka 2106 . . 3 ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑𝜓)) → ∀𝑥(𝜑𝜓))
21ex 115 . 2 (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝜓)))
3 hba1 1540 . . . . 5 (∀𝑥(𝜑𝜓) → ∀𝑥𝑥(𝜑𝜓))
4 ancl 318 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → (𝜑 → (𝜑𝜓)))
5 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝜑)
64, 5impbid1 142 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝜑 ↔ (𝜑𝜓)))
76sps 1537 . . . . 5 (∀𝑥(𝜑𝜓) → (𝜑 ↔ (𝜑𝜓)))
83, 7eubidh 2032 . . . 4 (∀𝑥(𝜑𝜓) → (∃!𝑥𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝜑𝜓)))
9 euex 2056 . . . 4 (∃!𝑥(𝜑𝜓) → ∃𝑥(𝜑𝜓))
108, 9syl6bi 163 . . 3 (∀𝑥(𝜑𝜓) → (∃!𝑥𝜑 → ∃𝑥(𝜑𝜓)))
1110com12 30 . 2 (∃!𝑥𝜑 → (∀𝑥(𝜑𝜓) → ∃𝑥(𝜑𝜓)))
122, 11impbid 129 1 (∃!𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(𝜑𝜓)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wal 1351  wex 1492  ∃!weu 2026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator