Theorem prprc 3702

Description: An unordered pair containing two proper classes is the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
prprc	⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = ∅)

Proof of Theorem prprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 3700	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
2		snprc 3657	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
3	2	biimpi 120	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
4	1, 3	sylan9eq 2230	1 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737  ∅c0 3422  {csn 3592  {cpr 3593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-nul 3423  df-sn 3598  df-pr 3599

This theorem is referenced by: (None)