Theorem prprc 3693

Description: An unordered pair containing two proper classes is the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
prprc	⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = ∅)

Proof of Theorem prprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 3691	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
2		snprc 3648	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V ↔ {𝐵} = ∅)
3	2	biimpi 119	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → {𝐵} = ∅)
4	1, 3	sylan9eq 2223	1 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  ∅c0 3414  {csn 3583  {cpr 3584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590

This theorem is referenced by: (None)