Theorem prprc1 3784

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3738	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
2		uneq1 3356	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = (∅ ∪ {𝐵}))
3		df-pr 3680	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4		uncom 3353	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ ∅)
5		un0 3530	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ∪ ∅) = {𝐵}
6	4, 5	eqtr2i 2253	. . 3 ⊢ {𝐵} = (∅ ∪ {𝐵})
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2289	. 2 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∪ cun 3199  ∅c0 3496  {csn 3673  {cpr 3674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-nul 3497  df-sn 3679  df-pr 3680

This theorem is referenced by:  prprc2  3785  prprc  3786