Theorem prprc1 3697

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3654	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
2		uneq1 3280	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = (∅ ∪ {𝐵}))
3		df-pr 3596	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4		uncom 3277	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ ∅)
5		un0 3454	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ∪ ∅) = {𝐵}
6	4, 5	eqtr2i 2197	. . 3 ⊢ {𝐵} = (∅ ∪ {𝐵})
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2233	. 2 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
8	1, 7	sylbi 121	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  Vcvv 2735   ∪ cun 3125  ∅c0 3420  {csn 3589  {cpr 3590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-nul 3421  df-sn 3595  df-pr 3596

This theorem is referenced by:  prprc2  3698  prprc  3699