Theorem prprc1 3691

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3648	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
2		uneq1 3274	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = (∅ ∪ {𝐵}))
3		df-pr 3590	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4		uncom 3271	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ ∅)
5		un0 3448	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ∪ ∅) = {𝐵}
6	4, 5	eqtr2i 2192	. . 3 ⊢ {𝐵} = (∅ ∪ {𝐵})
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2228	. 2 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
8	1, 7	sylbi 120	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  {csn 3583  {cpr 3584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-nul 3415  df-sn 3589  df-pr 3590

This theorem is referenced by:  prprc2  3692  prprc  3693