Theorem prprc1 3684

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3641	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
2		uneq1 3269	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = (∅ ∪ {𝐵}))
3		df-pr 3583	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4		uncom 3266	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ ∅)
5		un0 3442	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ∪ ∅) = {𝐵}
6	4, 5	eqtr2i 2187	. . 3 ⊢ {𝐵} = (∅ ∪ {𝐵})
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2224	. 2 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
8	1, 7	sylbi 120	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  ∅c0 3409  {csn 3576  {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  prprc2  3685  prprc  3686