Theorem prprc1 3570

Description: A proper class vanishes in an unordered pair. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Proof of Theorem prprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 3527	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
2		uneq1 3162	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} ∪ {𝐵}) = (∅ ∪ {𝐵}))
3		df-pr 3473	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4		uncom 3159	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ ∅)
5		un0 3335	. . . 4 ⊢ ({𝐵} ∪ ∅) = {𝐵}
6	4, 5	eqtr2i 2116	. . 3 ⊢ {𝐵} = (∅ ∪ {𝐵})
7	2, 3, 6	3eqtr4g 2152	. 2 ⊢ ({𝐴} = ∅ → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
8	1, 7	sylbi 120	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ∪ cun 3011  ∅c0 3302  {csn 3466  {cpr 3467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-nul 3303  df-sn 3472  df-pr 3473

This theorem is referenced by:  prprc2  3571  prprc  3572