Theorem ssn0 3467

Description: A class with a nonempty subclass is nonempty. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ssn0	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem ssn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq0 3466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2	1	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
3	2	necon3d 2391	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅))
4	3	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ≠ wne 2347   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-v 2741  df-dif 3133  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425

This theorem is referenced by: (None)