MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cadan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cadan 1718
Description: The adder carry in conjunctive normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 25-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
cadan (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜒) ∧ (𝜓𝜒)))

Proof of Theorem cadan
StepHypRef Expression
1 df-3or 1108 . . . 4 (((𝜑𝜓) ∨ (𝜑𝜒) ∨ (𝜓𝜒)) ↔ (((𝜑𝜓) ∨ (𝜑𝜒)) ∨ (𝜓𝜒)))
2 cador 1717 . . . 4 (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑𝜓) ∨ (𝜑𝜒) ∨ (𝜓𝜒)))
3 andi 1030 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜒)) ↔ ((𝜑𝜓) ∨ (𝜑𝜒)))
43orbi1i 937 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜒)) ∨ (𝜓𝜒)) ↔ (((𝜑𝜓) ∨ (𝜑𝜒)) ∨ (𝜓𝜒)))
51, 2, 43bitr4i 294 . . 3 (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓𝜒)) ∨ (𝜓𝜒)))
6 ordir 1029 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜒)) ∨ (𝜓𝜒)) ↔ ((𝜑 ∨ (𝜓𝜒)) ∧ ((𝜓𝜒) ∨ (𝜓𝜒))))
7 ordi 1028 . . . 4 ((𝜑 ∨ (𝜓𝜒)) ↔ ((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜒)))
8 orcom 896 . . . . 5 (((𝜓𝜒) ∨ (𝜓𝜒)) ↔ ((𝜓𝜒) ∨ (𝜓𝜒)))
9 animorl 1000 . . . . . 6 ((𝜓𝜒) → (𝜓𝜒))
10 pm4.72 972 . . . . . 6 (((𝜓𝜒) → (𝜓𝜒)) ↔ ((𝜓𝜒) ↔ ((𝜓𝜒) ∨ (𝜓𝜒))))
119, 10mpbi 221 . . . . 5 ((𝜓𝜒) ↔ ((𝜓𝜒) ∨ (𝜓𝜒)))
128, 11bitr4i 269 . . . 4 (((𝜓𝜒) ∨ (𝜓𝜒)) ↔ (𝜓𝜒))
137, 12anbi12i 620 . . 3 (((𝜑 ∨ (𝜓𝜒)) ∧ ((𝜓𝜒) ∨ (𝜓𝜒))) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜒)) ∧ (𝜓𝜒)))
145, 6, 133bitri 288 . 2 (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜒)) ∧ (𝜓𝜒)))
15 df-3an 1109 . 2 (((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜒) ∧ (𝜓𝜒)) ↔ (((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜒)) ∧ (𝜓𝜒)))
1614, 15bitr4i 269 1 (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑𝜓) ∧ (𝜑𝜒) ∧ (𝜓𝜒)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3o 1106  w3a 1107  caddwcad 1715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-xor 1634  df-cad 1716
This theorem is referenced by:  cadcomb  1722  cadnot  1724  cad1  1725
  Copyright terms: Public domain W3C validator