Theorem cadan 1638

Description: The adder carry in conjunctive normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 25-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cadan	⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))

Proof of Theorem cadan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3or 1103	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))
2		cador 1637	. . . 4 ⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))
3		andi 1024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒)))
4	3	orbi1i 926	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))
5	1, 2, 4	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))
6		ordir 1023	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))))
7		ordi 1022	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)))
8		orcom 883	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
9		animorl 992	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜒) → (𝜓 ∨ 𝜒))
10		pm4.72 963	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) → (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒))))
11	9, 10	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
12	8, 11	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (𝜓 ∨ 𝜒))
13	7, 12	anbi12i 639	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))
14	5, 6, 13	3bitri 300	. 2 ⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))
15		df-3an 1104	. 2 ⊢ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))
16	14, 15	bitr4i 281	1 ⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1101   ∧ w3a 1102  caddwcad 1635

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-xor 1541  df-cad 1636

This theorem is used by:  cadcomb  1642  cadnot  1644  cad1  1646