Theorem cadan 1611

Description: The adder carry in conjunctive normal form. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2016.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 25-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cadan	⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))

Proof of Theorem cadan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3or 1087	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))
2		cador 1610	. . . 4 ⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))
3		andi 1005	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒)))
4	3	orbi1i 911	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))
5	1, 2, 4	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))
6		ordir 1004	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))))
7		ordi 1003	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)))
8		orcom 867	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
9		animorl 975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜒) → (𝜓 ∨ 𝜒))
10		pm4.72 947	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) → (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒))))
11	9, 10	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
12	8, 11	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ (((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (𝜓 ∨ 𝜒))
13	7, 12	anbi12i 627	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))
14	5, 6, 13	3bitri 297	. 2 ⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))
15		df-3an 1088	. 2 ⊢ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))
16	14, 15	bitr4i 277	1 ⊢ (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086  caddwcad 1608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-cad 1609

This theorem is referenced by:  cadcomb  1615  cadnot  1617  cad1  1619