Proof of Theorem cadan
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-3or 1090 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))) |
2 | | cador 1615 |
. . . 4
⊢
(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))) |
3 | | andi 1008 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒))) |
4 | 3 | orbi1i 914 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∨ (𝜑 ∧ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))) |
5 | 1, 2, 4 | 3bitr4i 306 |
. . 3
⊢
(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))) |
6 | | ordir 1007 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)))) |
7 | | ordi 1006 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒))) |
8 | | orcom 870 |
. . . . 5
⊢ (((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒))) |
9 | | animorl 978 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜓 ∧ 𝜒) → (𝜓 ∨ 𝜒)) |
10 | | pm4.72 950 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) → (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))) |
11 | 9, 10 | mpbi 233 |
. . . . 5
⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∨ (𝜓 ∨ 𝜒))) |
12 | 8, 11 | bitr4i 281 |
. . . 4
⊢ (((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)) |
13 | 7, 12 | anbi12i 630 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∨ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ (𝜓 ∧ 𝜒))) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒))) |
14 | 5, 6, 13 | 3bitri 300 |
. 2
⊢
(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒))) |
15 | | df-3an 1091 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) ↔ (((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒)) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒))) |
16 | 14, 15 | bitr4i 281 |
1
⊢
(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ ((𝜑 ∨ 𝜓) ∧ (𝜑 ∨ 𝜒) ∧ (𝜓 ∨ 𝜒))) |