Theorem prtlem100 39557

Description: Lemma for prter3 39580. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
prtlem100	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})(𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))

Proof of Theorem prtlem100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 473	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))))
2		eldifsn 4758	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
3	2	anbi1i 635	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
4		ne0i 4302	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	pm4.71ri 569	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥))
6	5	anbi1i 635	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥) ∧ 𝜑))
7		anass 473	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
8	6, 7	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
9	8	anbi2i 634	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))))
10	1, 3, 9	3bitr4ri 307	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
11	10	rexbii2 3114	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})(𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910  ∅c0 4294  {csn 4594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-rex 3096  df-v 3465  df-dif 3916  df-nul 4295  df-sn 4595

This theorem is referenced by: (None)