Theorem prtlem100 38331

Description: Lemma for prter3 38354. (Contributed by Rodolfo Medina, 19-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
prtlem100	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})(𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))

Proof of Theorem prtlem100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 468	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))))
2		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅))
3	2	anbi1i 623	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
4		ne0i 4335	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	pm4.71ri 560	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥))
6	5	anbi1i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥) ∧ 𝜑))
7		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ 𝑥) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
8	6, 7	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
9	8	anbi2i 622	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))))
10	1, 3, 9	3bitr4ri 304	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑)))
11	10	rexbii2 3087	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})(𝐵 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3944  ∅c0 4323  {csn 4629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-rex 3068  df-v 3473  df-dif 3950  df-nul 4324  df-sn 4630

This theorem is referenced by: (None)