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Theorem antisymex 5912
Description: The class of all antisymmetric relationships is a set. (Contributed by SF, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
antisymex Antisym

Proof of Theorem antisymex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-antisym 5901 . . 3 Antisym
2 vex 2862 . . . . . . 7
3 vex 2862 . . . . . . 7
42, 3opex 4588 . . . . . 6
54elcompl 3225 . . . . 5 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
6 elin 3219 . . . . . . . . . 10 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
72otelins2 5791 . . . . . . . . . . . 12 Ins2 S S
8 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
98, 3opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . 12 S
107, 9bitri 240 . . . . . . . . . . 11 Ins2 S
11 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
12 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1312otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins2 Ins2 S Ins2 S
142otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins2 S S
15 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1615, 3opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 S
1713, 14, 163bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins2 Ins2 S
183oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
19 eldif 3221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
20 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
21 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
222oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ins4 SI3 SI3
23 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2423, 15, 8otsnelsi3 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 SI3
25 oteltxp 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
27 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
28 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2927, 28anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3026, 29bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
318, 15op1st2nd 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3225, 30, 313bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3322, 24, 323bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ins4 SI3
34 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3534otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ins2 Ins2 S Ins2 S
3612otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ins2 S S
3723, 2opelssetsn 4760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 S
3835, 36, 373bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ins2 Ins2 S
3933, 38anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
4021, 39bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
4140exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
42 elima1c 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
43 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44 df-clel 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4543, 44bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4641, 42, 453bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
47 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
482oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ins4 SI3 SI3
4923, 15, 8otsnelsi3 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 SI3
50 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5115, 8opex 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5251ideq 4870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5349, 50, 523bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 SI3
5448, 53bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ins4 SI3
5554, 38anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
5647, 55bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
5756exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
58 elima1c 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
59 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
60 df-clel 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6159, 60bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6257, 58, 613bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
6346, 62anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
6420, 63bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
652otelins3 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins3
66 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6712ideq 4870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
68 eqcom 2355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
698sneqb 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7067, 68, 693bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7165, 66, 703bitr2i 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins3
7271notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins3
7364, 72anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
7418, 19, 733bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
7517, 74anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
7611, 75bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
7776exbii 1582 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
78 elima1c 4947 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
79 df-rex 2620 . . . . . . . . . . . . 13
8077, 78, 793bitr4i 268 . . . . . . . . . . . 12 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
81 rexanali 2660 . . . . . . . . . . . 12
8280, 81bitri 240 . . . . . . . . . . 11 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
8310, 82anbi12i 678 . . . . . . . . . 10 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
846, 83bitri 240 . . . . . . . . 9 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
8584exbii 1582 . . . . . . . 8 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
86 elima1c 4947 . . . . . . . 8 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
87 df-rex 2620 . . . . . . . 8
8885, 86, 873bitr4i 268 . . . . . . 7 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
89 rexnal 2625 . . . . . . 7
9088, 89bitri 240 . . . . . 6 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
9190con2bii 322 . . . . 5 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
925, 91bitr4i 243 . . . 4 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
9392opabbi2i 4866 . . 3 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
941, 93eqtr4i 2376 . 2 Antisym Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
95 ssetex 4744 . . . . . 6 S
9695ins2ex 5797 . . . . 5 Ins2 S
9796ins2ex 5797 . . . . . . 7 Ins2 Ins2 S
98 2ndex 5112 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 1stex 4739 . . . . . . . . . . . . . . 15
10098, 99txpex 5785 . . . . . . . . . . . . . 14
101100si3ex 5806 . . . . . . . . . . . . 13 SI3
102101ins4ex 5799 . . . . . . . . . . . 12 Ins4 SI3
103102, 97inex 4105 . . . . . . . . . . 11 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
104 1cex 4142 . . . . . . . . . . 11 1c
105103, 104imaex 4747 . . . . . . . . . 10 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
106 idex 5504 . . . . . . . . . . . . . 14
107106si3ex 5806 . . . . . . . . . . . . 13 SI3
108107ins4ex 5799 . . . . . . . . . . . 12 Ins4 SI3
109108, 97inex 4105 . . . . . . . . . . 11 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S
110109, 104imaex 4747 . . . . . . . . . 10 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
111105, 110inex 4105 . . . . . . . . 9 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c
112106ins3ex 5798 . . . . . . . . 9 Ins3
113111, 112difex 4107 . . . . . . . 8 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
114113ins4ex 5799 . . . . . . 7 Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
11597, 114inex 4105 . . . . . 6 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3
116115, 104imaex 4747 . . . . 5 Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
11796, 116inex 4105 . . . 4 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c
118117, 104imaex 4747 . . 3 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
119118complex 4104 . 2 Ins2 S Ins2 Ins2 S Ins4 Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins4 SI3 Ins2 Ins2 S 1c Ins3 1c1c
12094, 119eqeltri 2423 1 Antisym
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  wral 2614  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cdif 3206   cin 3208  csn 3737  1cc1c 4134  cop 4561  copab 4622   class class class wbr 4639  c1st 4717   S csset 4719  cima 4722   cid 4763  c2nd 4783   ctxp 5735   Ins2 cins2 5749   Ins3 cins3 5751   Ins4 cins4 5755   SI3 csi3 5757   Antisym cantisym 5890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-cnv 4785  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-antisym 5901
This theorem is referenced by:  partialex  5917
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