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Theorem ceex 6174
Description: Cardinal exponentiation is stratified. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ceex c

Proof of Theorem ceex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ce 6106 . . 3 c NC NC 1 1
2 snex 4111 . . . . . . . . . 10
32otelins2 5791 . . . . . . . . 9 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins3 S SI Pw1Fn
4 vex 2862 . . . . . . . . . 10
54otelins3 5792 . . . . . . . . 9 Ins3 S SI Pw1Fn S SI Pw1Fn
6 ceexlem1 6173 . . . . . . . . 9 S SI Pw1Fn 1
73, 5, 63bitri 262 . . . . . . . 8 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn 1
8 elimapw11c 4948 . . . . . . . . 9 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
9 elin 3219 . . . . . . . . . . 11 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
10 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . 14
1110otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn
122otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins2 S SI Pw1Fn
13 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins2 S SI Pw1Fn S SI Pw1Fn
15 ceexlem1 6173 . . . . . . . . . . . . . 14 S SI Pw1Fn 1
1614, 15bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13 Ins2 S SI Pw1Fn 1
1711, 12, 163bitri 262 . . . . . . . . . . . 12 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn 1
1813, 4opex 4588 . . . . . . . . . . . . . 14
1918oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . 13 Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
20 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . 14
21 snex 4111 . . . . . . . . . . . . . 14
22 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . 14
2320, 21, 22otsnelsi3 5805 . . . . . . . . . . . . 13 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
24 elrn2 4897 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
25 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
2622oqelins4 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c
2720, 21opex 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
28 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2928brfns 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fns
30 brco 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 S Image Image S
3128, 22brimage 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Image
32 dfrn5 5508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3332eqeq2i 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3431, 33bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Image
35 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3622, 35brsset 4758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 S
3734, 36anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Image S
3837exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Image S
3928rnex 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
40 sseq1 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4139, 40ceqsexv 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4230, 38, 413bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 S Image
4329, 42anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Fns S Image
44 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fns S Image Fns S Image
45 trtxp 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fns S Image Fns S Image
4644, 45bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Fns S Image Fns S Image
47 df-f 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4843, 46, 473bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fns S Image
49 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5028, 49, 35otsnelsi3 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 SI3 Fns S Image Fns S Image
5135, 49, 28elmap 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5248, 50, 513bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 SI3 Fns S Image
5327, 52releqel 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c
5426, 53bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c
5520otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins2 Ins2 Ins2
5621otelins2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins2
57 df-br 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5856, 57bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins2
59 ensym 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6055, 58, 593bitri 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins2 Ins2
6154, 60anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
6225, 61bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
6362exbii 1582 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
64 ovex 5551 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 breq2 4643 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65ceqsexv 2894 . . . . . . . . . . . . . 14
6724, 63, 663bitri 262 . . . . . . . . . . . . 13 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
6819, 23, 673bitri 262 . . . . . . . . . . . 12 Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
6917, 68anbi12i 678 . . . . . . . . . . 11 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1
709, 69bitri 240 . . . . . . . . . 10 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1
7170exbii 1582 . . . . . . . . 9 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1
728, 71bitri 240 . . . . . . . 8 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c 1
737, 72anbi12i 678 . . . . . . 7 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c 1 1
74 elin 3219 . . . . . . 7 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c
75 3anass 938 . . . . . . . . 9 1 1 1 1
7675exbii 1582 . . . . . . . 8 1 1 1 1
77 19.42v 1905 . . . . . . . 8 1 1 1 1
7876, 77bitri 240 . . . . . . 7 1 1 1 1
7973, 74, 783bitr4i 268 . . . . . 6 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c 1 1
8079exbii 1582 . . . . 5 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c 1 1
81 elimapw11c 4948 . . . . 5 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c1 1c Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c
82 breq1 4642 . . . . . . . 8
83823anbi3d 1258 . . . . . . 7 1 1 1 1
84832exbidv 1628 . . . . . 6 1 1 1 1
8522, 84elab 2985 . . . . 5 1 1 1 1
8680, 81, 853bitr4i 268 . . . 4 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c1 1c 1 1
8786releqmpt2 5809 . . 3 NC NC Ins2 S Ins3 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c1 1c1c NC NC 1 1
881, 87eqtr4i 2376 . 2 c NC NC Ins2 S Ins3 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c1 1c1c
89 ncsex 6111 . . 3 NC
90 ssetex 4744 . . . . . . . 8 S
91 pw1fnex 5852 . . . . . . . . 9 Pw1Fn
9291siex 4753 . . . . . . . 8 SI Pw1Fn
9390, 92coex 4750 . . . . . . 7 S SI Pw1Fn
9493ins3ex 5798 . . . . . 6 Ins3 S SI Pw1Fn
9594ins2ex 5797 . . . . 5 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn
9693ins2ex 5797 . . . . . . . . 9 Ins2 S SI Pw1Fn
9796ins2ex 5797 . . . . . . . 8 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn
9897ins2ex 5797 . . . . . . 7 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn
9990ins3ex 5798 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins3 S
100 fnsex 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Fns
101 2ndex 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102101imageex 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Image
10390, 102coex 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 S Image
104100, 103txpex 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fns S Image
105104si3ex 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SI3 Fns S Image
106105ins2ex 5797 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ins2 SI3 Fns S Image
10799, 106symdifex 4108 . . . . . . . . . . . . . 14 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image
108 1cex 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 1c
109107, 108imaex 4747 . . . . . . . . . . . . 13 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c
110109complex 4104 . . . . . . . . . . . 12 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c
111110ins4ex 5799 . . . . . . . . . . 11 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c
112 enex 6031 . . . . . . . . . . . . 13
113112ins2ex 5797 . . . . . . . . . . . 12 Ins2
114113ins2ex 5797 . . . . . . . . . . 11 Ins2 Ins2
115111, 114inex 4105 . . . . . . . . . 10 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
116115rnex 5107 . . . . . . . . 9 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
117116si3ex 5806 . . . . . . . 8 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
118117ins4ex 5799 . . . . . . 7 Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
11998, 118inex 4105 . . . . . 6 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2
120108pw1ex 4303 . . . . . 6 1 1c
121119, 120imaex 4747 . . . . 5 Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c
12295, 121inex 4105 . . . 4 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c
123122, 120imaex 4747 . . 3 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c1 1c
12489, 89, 123mpt2exlem 5811 . 2 NC NC Ins2 S Ins3 Ins2 Ins3 S SI Pw1Fn Ins2 Ins2 Ins2 S SI Pw1Fn Ins4 SI3 Ins4 Ins3 S Ins2 SI3 Fns S Image1c Ins2 Ins2 1 1c1 1c1c
12588, 124eqeltri 2423 1 c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wa 358   w3a 934  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cdif 3206   cin 3208   csymdif 3209   wss 3257  csn 3737  1cc1c 4134  1 cpw1 4135  cop 4561   class class class wbr 4639   S csset 4719   SI csi 4720   ccom 4721  cima 4722   cxp 4770   crn 4773   wfn 4776  wf 4777  c2nd 4783  (class class class)co 5525   cmpt2 5653   ctxp 5735   Ins2 cins2 5749   Ins3 cins3 5751  Imagecimage 5753   Ins4 cins4 5755   SI3 csi3 5757   Fns cfns 5761   Pw1Fn cpw1fn 5765   cmap 5999   cen 6028   NC cncs 6088   ↑c cce 6096
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-ce 6106
This theorem is referenced by:  ce0nn  6180  spacvallem1  6281
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