Theorem nmembers1lem1 6269

Description: Lemma for nmembers1 6272. Set up stratification. (Contributed by SF, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nmembers1lem1	|- {x | {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. Tc Tc x} e. _V

Distinct variable group:   x,m

Proof of Theorem nmembers1lem1

Dummy variables p q y t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	eluni1 4174	. . . 4 |- (x e. ⋃1⋃1ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> {x} e. ⋃1ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c))
3		snex 4112	. . . . 5 |- {x} e. _V
4	3	eluni1 4174	. . . 4 |- ({x} e. ⋃1ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> {{x}} e. ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c))
5		elrn2 4898	. . . . . 6 |- ({{x}} e. ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> E.q<.q, {{x}}>. e. ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c))
6		elima1c 4948	. . . . . . . 8 |- (<.q, {{x}}>. e. ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> E.p<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S ))
7		elin 3220	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. ( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) <-> (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) /\ <.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))))
8		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- q e. _V
9	8	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) <-> <.{p}, {{x}}>. e. SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c))
10		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- p e. _V
11	10, 3	opsnelsi 5775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.{p}, {{x}}>. e. SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) <-> <.p, {x}>. e. ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c))
12		opelres 4951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (<.y, x>. e. (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ) <-> (<.y, x>. e. ( <_c |` ( <_c "{1c})) /\ y e. Nn ))
13		ancom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((<.y, x>. e. ( <_c |` ( <_c "{1c})) /\ y e. Nn ) <-> (y e. Nn /\ <.y, x>. e. ( <_c |` ( <_c "{1c}))))
14		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y( <_c |` ( <_c "{1c}))x <-> <.y, x>. e. ( <_c |` ( <_c "{1c})))
15		brres 4950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y( <_c |` ( <_c "{1c}))x <-> (y <_c x /\ y e. ( <_c "{1c})))
16		ancom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y <_c x /\ y e. ( <_c "{1c})) <-> (y e. ( <_c "{1c}) /\ y <_c x))
17		elimasn 5020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. ( <_c "{1c}) <-> <.1c, y>. e. <_c )
18		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (1c <_c y <-> <.1c, y>. e. <_c )
19	17, 18	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. ( <_c "{1c}) <-> 1c <_c y)
20	19	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. ( <_c "{1c}) /\ y <_c x) <-> (1c <_c y /\ y <_c x))
21	15, 16, 20	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y( <_c |` ( <_c "{1c}))x <-> (1c <_c y /\ y <_c x))
22	14, 21	bitr3i 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (<.y, x>. e. ( <_c |` ( <_c "{1c})) <-> (1c <_c y /\ y <_c x))
23	22	anbi2i 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. Nn /\ <.y, x>. e. ( <_c |` ( <_c "{1c}))) <-> (y e. Nn /\ (1c <_c y /\ y <_c x)))
24	12, 13, 23	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (<.y, x>. e. (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ) <-> (y e. Nn /\ (1c <_c y /\ y <_c x)))
25		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
26	25, 1	opsnelsi 5775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (<.{y}, {x}>. e. SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ) <-> <.y, x>. e. (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))
27		breq2 4644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m = y -> (1c <_c m <-> 1c <_c y))
28		breq1 4643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m = y -> (m <_c x <-> y <_c x))
29	27, 28	anbi12d 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (m = y -> ((1c <_c m /\ m <_c x) <-> (1c <_c y /\ y <_c x)))
30	29	elrab 2995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} <-> (y e. Nn /\ (1c <_c y /\ y <_c x)))
31	24, 26, 30	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (<.{y}, {x}>. e. SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ) <-> y e. {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)})
32	3, 31	releqel 5808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.p, {x}>. e. ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) <-> p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)})
33	9, 11, 32	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) <-> p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)})
34		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- {p} e. _V
35		opelxp 4812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn)) <-> ({p} e. _V /\ <.q, {{x}}>. e. ( SI `'TcFn o. `'TcFn)))
36	34, 35	mpbiran 884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn)) <-> <.q, {{x}}>. e. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))
37		opelco 4885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.q, {{x}}>. e. ( SI `'TcFn o. `'TcFn) <-> E.t(q`'TcFnt /\ t SI `'TcFn{{x}}))
38	3	brsnsi2 5777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t SI `'TcFn{{x}} <-> E.p(t = {p} /\ p`'TcFn{x}))
39	38	anbi2i 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((q`'TcFnt /\ t SI `'TcFn{{x}}) <-> (q`'TcFnt /\ E.p(t = {p} /\ p`'TcFn{x})))
40		19.42v 1905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.p(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})) <-> (q`'TcFnt /\ E.p(t = {p} /\ p`'TcFn{x})))
41	39, 40	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((q`'TcFnt /\ t SI `'TcFn{{x}}) <-> E.p(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})))
42	41	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.t(q`'TcFnt /\ t SI `'TcFn{{x}}) <-> E.tE.p(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})))
43		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.tE.p(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})) <-> E.pE.t(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})))
44		an12 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})) <-> (t = {p} /\ (q`'TcFnt /\ p`'TcFn{x})))
45	44	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.t(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})) <-> E.t(t = {p} /\ (q`'TcFnt /\ p`'TcFn{x})))
46		breq2 4644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (t = {p} -> (q`'TcFnt <-> q`'TcFn{p}))
47	46	anbi1d 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (t = {p} -> ((q`'TcFnt /\ p`'TcFn{x}) <-> (q`'TcFn{p} /\ p`'TcFn{x})))
48	34, 47	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.t(t = {p} /\ (q`'TcFnt /\ p`'TcFn{x})) <-> (q`'TcFn{p} /\ p`'TcFn{x}))
49	45, 48	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.t(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})) <-> (q`'TcFn{p} /\ p`'TcFn{x}))
50	49	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.pE.t(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})) <-> E.p(q`'TcFn{p} /\ p`'TcFn{x}))
51		brcnv 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (q`'TcFn{p} <-> {p}TcFnq)
52	10	brtcfn 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ({p}TcFnq <-> q = Tc p)
53	51, 52	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (q`'TcFn{p} <-> q = Tc p)
54		brcnv 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (p`'TcFn{x} <-> {x}TcFnp)
55	1	brtcfn 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ({x}TcFnp <-> p = Tc x)
56	54, 55	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (p`'TcFn{x} <-> p = Tc x)
57	53, 56	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((q`'TcFn{p} /\ p`'TcFn{x}) <-> (q = Tc p /\ p = Tc x))
58		ancom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((q = Tc p /\ p = Tc x) <-> (p = Tc x /\ q = Tc p))
59	57, 58	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((q`'TcFn{p} /\ p`'TcFn{x}) <-> (p = Tc x /\ q = Tc p))
60	59	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.p(q`'TcFn{p} /\ p`'TcFn{x}) <-> E.p(p = Tc x /\ q = Tc p))
61		tcex 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Tc x e. _V
62		tceq 6159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (p = Tc x -> Tc p = Tc Tc x)
63	62	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p = Tc x -> (q = Tc p <-> q = Tc Tc x))
64	61, 63	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.p(p = Tc x /\ q = Tc p) <-> q = Tc Tc x)
65	50, 60, 64	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.pE.t(q`'TcFnt /\ (t = {p} /\ p`'TcFn{x})) <-> q = Tc Tc x)
66	42, 43, 65	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.t(q`'TcFnt /\ t SI `'TcFn{{x}}) <-> q = Tc Tc x)
67	36, 37, 66	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn)) <-> q = Tc Tc x)
68	33, 67	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) /\ <.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) <-> (p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x))
69	7, 68	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. ( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) <-> (p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x))
70		snex 4112	. . . . . . . . . . . . 13 |- {{x}} e. _V
71	70	otelins3 5793	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. Ins3 S <-> <.{p}, q>. e. S )
72	10, 8	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.{p}, q>. e. S <-> p e. q)
73	71, 72	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. Ins3 S <-> p e. q)
74	69, 73	anbi12i 678	. . . . . . . . . 10 |- ((<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. ( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) /\ <.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. Ins3 S ) <-> ((p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x) /\ p e. q))
75		elin 3220	. . . . . . . . . 10 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S ) <-> (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. ( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) /\ <.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. Ins3 S ))
76		df-3an 936	. . . . . . . . . 10 |- ((p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q) <-> ((p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x) /\ p e. q))
77	74, 75, 76	3bitr4i 268	. . . . . . . . 9 |- (<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S ) <-> (p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q))
78	77	exbii 1582	. . . . . . . 8 |- (E.p<.{p}, <.q, {{x}}>.>. e. (( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S ) <-> E.p(p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q))
79	6, 78	bitri 240	. . . . . . 7 |- (<.q, {{x}}>. e. ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> E.p(p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q))
80	79	exbii 1582	. . . . . 6 |- (E.q<.q, {{x}}>. e. ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> E.qE.p(p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q))
81	5, 80	bitri 240	. . . . 5 |- ({{x}} e. ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> E.qE.p(p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q))
82		excom 1741	. . . . 5 |- (E.qE.p(p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q) <-> E.pE.q(p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q))
83		imasn 5019	. . . . . . . . . . 11 |- ( <_c "{1c}) = {m | 1c <_c m}
84		iniseg 5023	. . . . . . . . . . 11 |- (`' <_c "{x}) = {m | m <_c x}
85	83, 84	ineq12i 3456	. . . . . . . . . 10 |- (( <_c "{1c}) i^i (`' <_c "{x})) = ({m | 1c <_c m} i^i {m | m <_c x})
86		inab 3523	. . . . . . . . . 10 |- ({m | 1c <_c m} i^i {m | m <_c x}) = {m | (1c <_c m /\ m <_c x)}
87	85, 86	eqtri 2373	. . . . . . . . 9 |- (( <_c "{1c}) i^i (`' <_c "{x})) = {m | (1c <_c m /\ m <_c x)}
88	87	ineq1i 3454	. . . . . . . 8 |- ((( <_c "{1c}) i^i (`' <_c "{x})) i^i Nn ) = ({m | (1c <_c m /\ m <_c x)} i^i Nn )
89		dfrab2 3531	. . . . . . . 8 |- {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} = ({m | (1c <_c m /\ m <_c x)} i^i Nn )
90	88, 89	eqtr4i 2376	. . . . . . 7 |- ((( <_c "{1c}) i^i (`' <_c "{x})) i^i Nn ) = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)}
91		lecex 6116	. . . . . . . . . 10 |- <_c e. _V
92		snex 4112	. . . . . . . . . 10 |- {1c} e. _V
93	91, 92	imaex 4748	. . . . . . . . 9 |- ( <_c "{1c}) e. _V
94	91	cnvex 5103	. . . . . . . . . 10 |- `' <_c e. _V
95	94, 3	imaex 4748	. . . . . . . . 9 |- (`' <_c "{x}) e. _V
96	93, 95	inex 4106	. . . . . . . 8 |- (( <_c "{1c}) i^i (`' <_c "{x})) e. _V
97		nncex 4397	. . . . . . . 8 |- Nn e. _V
98	96, 97	inex 4106	. . . . . . 7 |- ((( <_c "{1c}) i^i (`' <_c "{x})) i^i Nn ) e. _V
99	90, 98	eqeltrri 2424	. . . . . 6 |- {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. _V
100		tcex 6158	. . . . . 6 |- Tc Tc x e. _V
101		eleq1 2413	. . . . . 6 |- (p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} -> (p e. q <-> {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. q))
102		eleq2 2414	. . . . . 6 |- (q = Tc Tc x -> ({m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. q <-> {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. Tc Tc x))
103	99, 100, 101, 102	ceqsex2v 2897	. . . . 5 |- (E.pE.q(p = {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} /\ q = Tc Tc x /\ p e. q) <-> {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. Tc Tc x)
104	81, 82, 103	3bitri 262	. . . 4 |- ({{x}} e. ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. Tc Tc x)
105	2, 4, 104	3bitri 262	. . 3 |- (x e. ⋃1⋃1ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) <-> {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. Tc Tc x)
106	105	eqabi 2465	. 2 |- ⋃1⋃1ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) = {x | {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. Tc Tc x}
107		ssetex 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S e. _V
108	107	ins3ex 5799	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ins3 S e. _V
109	91, 93	resex 5118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <_c |` ( <_c "{1c})) e. _V
110	109, 97	resex 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ) e. _V
111	110	siex 4754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ) e. _V
112	111	ins2ex 5798	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ) e. _V
113	108, 112	symdifex 4109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn )) e. _V
114		1cex 4143	. . . . . . . . . . . 12 |- 1c e. _V
115	113, 114	imaex 4748	. . . . . . . . . . 11 |- (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) e. _V
116	115	complex 4105	. . . . . . . . . 10 |- ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) e. _V
117	116	siex 4754	. . . . . . . . 9 |- SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) e. _V
118	117	ins2ex 5798	. . . . . . . 8 |- Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) e. _V
119		vvex 4110	. . . . . . . . 9 |- _V e. _V
120		tcfnex 6245	. . . . . . . . . . . 12 |- TcFn e. _V
121	120	cnvex 5103	. . . . . . . . . . 11 |- `'TcFn e. _V
122	121	siex 4754	. . . . . . . . . 10 |- SI `'TcFn e. _V
123	122, 121	coex 4751	. . . . . . . . 9 |- ( SI `'TcFn o. `'TcFn) e. _V
124	119, 123	xpex 5116	. . . . . . . 8 |- (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn)) e. _V
125	118, 124	inex 4106	. . . . . . 7 |- ( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) e. _V
126	125, 108	inex 4106	. . . . . 6 |- (( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S ) e. _V
127	126, 114	imaex 4748	. . . . 5 |- ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) e. _V
128	127	rnex 5108	. . . 4 |- ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) e. _V
129	128	uni1ex 4294	. . 3 |- ⋃1ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) e. _V
130	129	uni1ex 4294	. 2 |- ⋃1⋃1ran ((( Ins2 SI ∼ (( Ins3 S (+) Ins2 SI (( <_c |` ( <_c "{1c})) |` Nn ))"1c) i^i (_V X. ( SI `'TcFn o. `'TcFn))) i^i Ins3 S )"1c) e. _V
131	106, 130	eqeltrri 2424	1 |- {x | {m e. Nn | (1c <_c m /\ m <_c x)} e. Tc Tc x} e. _V

Syntax hints:   /\ wa 358   /\ w3a 934  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  {cab 2339  {crab 2619  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   i^i cin 3209   (+) csymdif 3210  {csn 3738  ⋃₁cuni1 4134  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  <.cop 4562   class class class wbr 4640   S csset 4720   SI csi 4721   o. ccom 4722  "cima 4723   X. cxp 4771  `'ccnv 4772  ran crn 4774   |` cres 4775   Ins2 cins2 5750   Ins3 cins3 5752   <__c clec 6090   T_c ctc 6094  TcFnctcfn 6098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-mpt 5653  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-pw1fn 5767  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102  df-tc 6104  df-tcfn 6108

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