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Theorem ovcelem1 6172

Description: Lemma for ovce 6173. Set up stratification for the result. (Contributed by SF, 6-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ovcelem1	$/\$ ₁ $/\$ ₁ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem ovcelem1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elima1c 4948	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c
2		elima1c 4948	. . . . . 6 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
3		vex 2863	. . . . . . . . . . 11
4	3	otelins3 5793	. . . . . . . . . 10 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn
5		opelcnv 4894	. . . . . . . . . 10 Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn
6		opelxp 4812	. . . . . . . . . . 11 Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn $/\$ Pw1Fn
7		brcnv 4893	. . . . . . . . . . . . . . 15 Pw1Fn Pw1Fn
8		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16
9	8	brpw1fn 5855	. . . . . . . . . . . . . . 15 Pw1Fn ₁
10	7, 9	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 Pw1Fn ₁
11	10	rexbii 2640	. . . . . . . . . . . . 13 Pw1Fn ₁
12		elima 4755	. . . . . . . . . . . . 13 Pw1Fn Pw1Fn
13		risset 2662	. . . . . . . . . . . . 13 ₁ ₁
14	11, 12, 13	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . 12 Pw1Fn ₁
15		brcnv 4893	. . . . . . . . . . . . . . 15 Pw1Fn Pw1Fn
16		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	16	brpw1fn 5855	. . . . . . . . . . . . . . 15 Pw1Fn ₁
18	15, 17	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 Pw1Fn ₁
19	18	rexbii 2640	. . . . . . . . . . . . 13 Pw1Fn ₁
20		elima 4755	. . . . . . . . . . . . 13 Pw1Fn Pw1Fn
21		risset 2662	. . . . . . . . . . . . 13 ₁ ₁
22	19, 20, 21	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . 12 Pw1Fn ₁
23	14, 22	anbi12i 678	. . . . . . . . . . 11 Pw1Fn $/\$ Pw1Fn ₁ $/\$ ₁
24	6, 23	bitri 240	. . . . . . . . . 10 Pw1Fn Pw1Fn ₁ $/\$ ₁
25	4, 5, 24	3bitri 262	. . . . . . . . 9 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn ₁ $/\$ ₁
26		elrn2 4898	. . . . . . . . . 10 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
27		elin 3220	. . . . . . . . . . . 12 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c $/\$ Ins2 Ins2
28		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
30		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31	29, 30	opex 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	28, 31	opex 4589	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33	32	elcompl 3226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
34		elima1c 4948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
35		elsymdif 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
36	31	otelins3 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins3 S S
37		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
38	37, 28	opelssetsn 4761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 S
39	36, 38	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins3 S
40	28	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ins2 SI₃ Fns S Image SI₃ Fns S Image
41	37, 16, 8	otsnelsi3 5806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 SI₃ Fns S Image Fns S Image
42		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Fns Fns
43	37	brfns 5834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Fns
44	42, 43	bitr3i 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Fns
45		opelco 4885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 S Image Image $/\$ S
46	37, 28	brimage 5794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Image
47		dfrn5 5509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
48	47	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
49	46, 48	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Image
50	28, 8	brsset 4759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 S
51	49, 50	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Image $/\$ S $/\$
52	51	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Image $/\$ S $/\$
53	37	rnex 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
54		sseq1 3293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
55	53, 54	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
56	45, 52, 55	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 S Image
57	44, 56	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fns $/\$ S Image $/\$
58		oteltxp 5783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Fns S Image Fns $/\$ S Image
59		df-f 4792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
60	57, 58, 59	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Fns S Image
61	40, 41, 60	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ins2 SI₃ Fns S Image
62	39, 61	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
63	35, 62	xchbinx 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
64	63	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
65		exnal 1574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66	34, 64, 65	3bitrri 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
67	66	con1bii 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
68	33, 67	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
69	3	oqelins4 5795	. . . . . . . . . . . . . 14 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
70	8, 16	mapval 6012	. . . . . . . . . . . . . . . 16
71	70	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . . . . . . 15
72		eqabb 2459	. . . . . . . . . . . . . . 15
73	71, 72	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . 14
74	68, 69, 73	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . 13 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
75	29	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 Ins2 Ins2 Ins2
76	30	otelins2 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 Ins2
77		df-br 4641	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		brcnv 4893	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	77, 78	bitr3i 242	. . . . . . . . . . . . . 14
80	75, 76, 79	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . 13 Ins2 Ins2
81	74, 80	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . 12 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c $/\$ Ins2 Ins2 $/\$
82	27, 81	bitri 240	. . . . . . . . . . 11 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 $/\$
83	82	exbii 1582	. . . . . . . . . 10 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 $/\$
84		ovex 5552	. . . . . . . . . . 11
85		breq2 4644	. . . . . . . . . . 11
86	84, 85	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	26, 83, 86	3bitri 262	. . . . . . . . 9 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
88	25, 87	anbi12i 678	. . . . . . . 8 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn $/\$ Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 ₁ $/\$ ₁ $/\$
89		elin 3220	. . . . . . . 8 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn $/\$ Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
90		df-3an 936	. . . . . . . 8 ₁ $/\$ ₁ $/\$ ₁ $/\$ ₁ $/\$
91	88, 89, 90	3bitr4i 268	. . . . . . 7 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 ₁ $/\$ ₁ $/\$
92	91	exbii 1582	. . . . . 6 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 ₁ $/\$ ₁ $/\$
93	2, 92	bitri 240	. . . . 5 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c ₁ $/\$ ₁ $/\$
94	93	exbii 1582	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c ₁ $/\$ ₁ $/\$
95	1, 94	bitri 240	. . 3 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c ₁ $/\$ ₁ $/\$
96	95	eqabi 2465	. 2 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c ₁ $/\$ ₁ $/\$
97		pw1fnex 5853	. . . . . 6 Pw1Fn
98	97	cnvex 5103	. . . . 5 Pw1Fn
99		imaexg 4747	. . . . 5 Pw1Fn $/\$ Pw1Fn
100	98, 99	mpan 651	. . . 4 Pw1Fn
101		imaexg 4747	. . . . 5 Pw1Fn $/\$ Pw1Fn
102	98, 101	mpan 651	. . . 4 Pw1Fn
103		xpexg 5115	. . . 4 Pw1Fn $/\$ Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn
104	100, 102, 103	syl2an 463	. . 3 $/\$ Pw1Fn Pw1Fn
105		cnvexg 5102	. . . 4 Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn Pw1Fn
106		ins3exg 5797	. . . 4 Pw1Fn Pw1Fn Ins3 Pw1Fn Pw1Fn
107	105, 106	syl 15	. . 3 Pw1Fn Pw1Fn Ins3 Pw1Fn Pw1Fn
108		ssetex 4745	. . . . . . . . . . . 12 S
109	108	ins3ex 5799	. . . . . . . . . . 11 Ins3 S
110		fnsex 5833	. . . . . . . . . . . . . 14 Fns
111		2ndex 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16
112	111	imageex 5802	. . . . . . . . . . . . . . 15 Image
113	108, 112	coex 4751	. . . . . . . . . . . . . 14 S Image
114	110, 113	txpex 5786	. . . . . . . . . . . . 13 Fns S Image
115	114	si3ex 5807	. . . . . . . . . . . 12 SI₃ Fns S Image
116	115	ins2ex 5798	. . . . . . . . . . 11 Ins2 SI₃ Fns S Image
117	109, 116	symdifex 4109	. . . . . . . . . 10 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image
118		1cex 4143	. . . . . . . . . 10 1_c
119	117, 118	imaex 4748	. . . . . . . . 9 Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
120	119	complex 4105	. . . . . . . 8 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
121	120	ins4ex 5800	. . . . . . 7 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c
122		enex 6032	. . . . . . . . . 10
123	122	cnvex 5103	. . . . . . . . 9
124	123	ins2ex 5798	. . . . . . . 8 Ins2
125	124	ins2ex 5798	. . . . . . 7 Ins2 Ins2
126	121, 125	inex 4106	. . . . . 6 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
127	126	rnex 5108	. . . . 5 Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
128		inexg 4101	. . . . 5 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn $/\$ Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
129	127, 128	mpan2 652	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2
130		imaexg 4747	. . . . 5 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 $/\$ 1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c
131	118, 130	mpan2 652	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c
132		imaexg 4747	. . . . 5 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c $/\$ 1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c
133	118, 132	mpan2 652	. . . 4 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c
134	129, 131, 133	3syl 18	. . 3 Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c
135	104, 107, 134	3syl 18	. 2 $/\$ Ins3 Pw1Fn Pw1Fn Ins4 ∼ Ins3 S Ins2 SI₃ Fns S Image1_c Ins2 Ins2 1_c1_c
136	96, 135	syl5eqelr 2438	1 $/\$ ₁ $/\$ ₁ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 176 $/\$ wa 358 $/\$ w3a 934

wal 1540

wex 1541

wceq 1642

wcel 1710

cab 2339

wrex 2616

cvv 2860 ∼ ccompl 3206

cin 3209

csymdif 3210

wss 3258

csn 3738 1_cc1c 4135

₁ cpw1 4136

cop 4562 class class class wbr 4640 S csset 4720

ccom 4722

cima 4723

cxp 4771

ccnv 4772

crn 4774

wfn 4777

wf 4778

c2nd 4784 (class class class)co 5526

ctxp 5736 Ins2 cins2 5750 Ins3 cins3 5752 Imagecimage 5754 Ins4 cins4 5756 SI₃ csi3 5758 Fns cfns 5762 Pw1Fn cpw1fn 5766

cmap 6000

cen 6029

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1546 ax-5 1557 ax-17 1616 ax-9 1654 ax-8 1675 ax-13 1712 ax-14 1714 ax-6 1729 ax-7 1734 ax-11 1746 ax-12 1925 ax-ext 2334 ax-nin 4079 ax-xp 4080 ax-cnv 4081 ax-1c 4082 ax-sset 4083 ax-si 4084 ax-ins2 4085 ax-ins3 4086 ax-typlower 4087 ax-sn 4088

This theorem depends on definitions: df-bi 177 df-or 359 df-an 360 df-3or 935 df-3an 936 df-nan 1288 df-tru 1319 df-ex 1542 df-nf 1545 df-sb 1649 df-eu 2208 df-mo 2209 df-clab 2340 df-cleq 2346 df-clel 2349 df-nfc 2479 df-ne 2519 df-ral 2620 df-rex 2621 df-reu 2622 df-rmo 2623 df-rab 2624 df-v 2862 df-sbc 3048 df-nin 3212 df-compl 3213 df-in 3214 df-un 3215 df-dif 3216 df-symdif 3217 df-ss 3260 df-pss 3262 df-nul 3552 df-if 3664 df-pw 3725 df-sn 3742 df-pr 3743 df-uni 3893 df-int 3928 df-opk 4059 df-1c 4137 df-pw1 4138 df-uni1 4139 df-xpk 4186 df-cnvk 4187 df-ins2k 4188 df-ins3k 4189 df-imak 4190 df-cok 4191 df-p6 4192 df-sik 4193 df-ssetk 4194 df-imagek 4195 df-idk 4196 df-iota 4340 df-0c 4378 df-addc 4379 df-nnc 4380 df-fin 4381 df-lefin 4441 df-ltfin 4442 df-ncfin 4443 df-tfin 4444 df-evenfin 4445 df-oddfin 4446 df-sfin 4447 df-spfin 4448 df-phi 4566 df-op 4567 df-proj1 4568 df-proj2 4569 df-opab 4624 df-br 4641 df-1st 4724 df-swap 4725 df-sset 4726 df-co 4727 df-ima 4728 df-si 4729 df-id 4768 df-xp 4785 df-cnv 4786 df-rn 4787 df-dm 4788 df-res 4789 df-fun 4790 df-fn 4791 df-f 4792 df-f1 4793 df-fo 4794 df-f1o 4795 df-fv 4796 df-2nd 4798 df-ov 5527 df-oprab 5529 df-mpt 5653 df-mpt2 5655 df-txp 5737 df-ins2 5751 df-ins3 5753 df-image 5755 df-ins4 5757 df-si3 5759 df-funs 5761 df-fns 5763 df-pw1fn 5767 df-map 6002 df-en 6030

This theorem is referenced by: ovce 6173 fnce 6177

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