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Theorem cauappcvgprlemladdru 6812
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 6814. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlemladd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, l, u, p, q    S, l, q, u
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    S( p)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables  f  g  h  r  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3796 . . . . 5  |-  ( u  =  r  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  ( (
( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
r ) )
21rexbidv 2344 . . . 4  |-  ( u  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
) )
3 nqex 6519 . . . . . 6  |-  Q.  e.  _V
43rabex 3929 . . . . 5  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  e.  _V
53rabex 3929 . . . . 5  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
64, 5op2nd 5802 . . . 4  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u }
72, 6elrab2 2723 . . 3  |-  ( r  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( r  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r ) )
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 6811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  C_  ( 1st ` 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
14 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
l  +Q  q )  =  ( l  +Q  v ) )
15 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  v  ->  ( F `  q )  =  ( F `  v ) )
1615oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  S )  =  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
1714, 16breq12d 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  v  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
1817cbvrexv 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
2019rabbiia 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  =  {
l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) }
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  =  v  ->  q  =  v )
2215, 21oveq12d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 v )  +Q  v ) )
2322oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  =  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S ) )
2423breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  v  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  ( (
( F `  v
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u ) )
2524cbvrexv 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  u  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u )
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u
) )
2726rabbiia 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  =  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u }
2820, 27opeq12i 3582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >.  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >.
2928fveq2i 5209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. )
3013, 29syl6sseq 3019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  C_  ( 1st ` 
<. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
3130adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  C_  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u } >. ) )
328ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
33 simplr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
3432, 33ffvelrnd 5331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
35 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  v  e.  Q. )
36 addassnqg 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
3734, 33, 35, 36syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
38 addclnq 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
3934, 33, 38syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
40 addclnq 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  e.  Q. )
4139, 40sylancom 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  e.  Q. )
4237, 41eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) )  e.  Q. )
4332, 35ffvelrnd 5331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  e.  Q. )
44 ltsonq 6554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <Q  Or  Q.
45 so2nr 4086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  e.  Q.  /\  ( F `  v )  e.  Q. ) )  ->  -.  ( (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) 
<Q  ( F `  v
)  /\  ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) ) )
4644, 45mpan 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  e.  Q.  /\  ( F `  v )  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) ) )
4742, 43, 46syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) ) )
4812ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  S  e.  Q. )
49 addcomnqg 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
5049adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q. ) )  ->  (
f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
51 addassnqg 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
5251adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  +Q  v )  =  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  v )  +Q  S ) )
5453breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
55 ltanqg 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
5655adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  <Q  ( F `  v )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
5837breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  <Q  ( F `  v )  <->  ( ( F `  q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )
) )
5954, 57, 583bitr2d 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( ( F `  q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )
) )
6059biimpd 136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) 
<Q  ( F `  v
) ) )
619ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
62 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  ( F `  p )  =  ( F `  v ) )
63 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  v  ->  (
p  +Q  q )  =  ( v  +Q  q ) )
6463oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) ) )
6562, 64breq12d 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) )
6662, 63oveq12d 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 v )  +Q  ( v  +Q  q
) ) )
6766breq2d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) )
6865, 67anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  v  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
6968ralbidv 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  v  ->  ( A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  A. q  e.  Q.  ( ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) ) )
7069rspcv 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7170adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) )
73 rsp 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) )  ->  (
q  e.  Q.  ->  ( ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7472, 33, 73sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) )
7574simpld 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) ) )
76 addcomnqg 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( v  +Q  q
)  =  ( q  +Q  v ) )
7735, 33, 76syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
v  +Q  q )  =  ( q  +Q  v ) )
7877oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
7975, 78breqtrd 3816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) ) )
8060, 79jctird 304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) ) ) ) )
8147, 80mtod 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
8281nrexdv 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  E. v  e.  Q.  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) )
838ffvelrnda 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `
 q )  e. 
Q. )
8483, 38sylancom 405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q )  e. 
Q. )
8512adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  S  e. 
Q. )
86 addclnq 6531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  S  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  Q. )
8784, 85, 86syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  e. 
Q. )
88 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  (
l  +Q  v )  =  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v ) )
8988breq1d 3802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  (
( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  +Q  v )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
9089rexbidv 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  ( E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
9190elrab3 2722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  Q.  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) }  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) }  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) ) )
9382, 92mtbird 608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } )
943rabex 3929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) }  e.  _V
953rabex 3929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
9694, 95op1st 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) }
9796eleq2i 2120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) } )
9893, 97sylnibr 612 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
9931, 98ssneldd 2976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
10099adantlr 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) )
101100adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 6809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
103 nqprlu 6703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )
105 addclpr 6693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P. )
106102, 104, 105syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P. )
107 prop 6631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P.  ->  <. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) >.  e.  P. )
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P. )
109 prloc 6647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P.  /\  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r )  -> 
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
110108, 109sylan 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
r )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
111110adantlr 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  r )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
112111adantlr 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
113112orcomd 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  ( r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
114101, 113ecased 1255 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
115114ex 112 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
116115rexlimdva 2450 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  ->  ( E. q  e.  Q.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
117116expimpd 349 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
1187, 117syl5bi 145 . 2  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
119118ssrdv 2979 1  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
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C_  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   {crab 2327    C_ wss 2945   <.cop 3406   class class class wbr 3792    Or wor 4060   -->wf 4926   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   1stc1st 5793   2ndc2nd 5794   Q.cnq 6436    +Q cplq 6438    <Q cltq 6441   P.cnp 6447    +P. cpp 6449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-iplp 6624
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  6814
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