Theorem ege2le3 11377

Description: Euler's constant _e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
erelem1.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	|- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 8992	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
2		nn0uz 9360	. . . . . . . . 9 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	eleqtri 2214	. . . . . . . 8 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
5		elnn0uz 9363	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 <-> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
6	5	biimpri 132	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> k e. NN0 )
7		faccl 10481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
8	7	nnrecred 8767	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
9		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
10	9	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
11		erelem1.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
12	10, 11	fvmptg 5497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN0 /\ ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
13	8, 12	mpdan 417	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
14	13, 8	eqeltrd 2216	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) e. RR )
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
16	15	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
17		readdcl 7746	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. RR /\ y e. RR ) -> ( k + y ) e. RR )
18	17	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( k e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( k + y ) e. RR )
19	4, 16, 18	seq3p1 10235	. . . . . 6 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) + ( G ` ( 0 + 1 ) ) ) )
20		0zd 9066	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
21	20, 16, 18	seq3-1 10233	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = ( G ` 0 ) )
22		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ! ` n ) = ( ! ` 0 ) )
23		fac0 10474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ! ` 0 ) = 1
24	22, 23	syl6eq 2188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( ! ` n ) = 1 )
25	24	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / 1 ) )
26		ax-1cn 7713	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
27	26	div1i 8500	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 1 ) = 1
28	25, 27	syl6eq 2188	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = 1 )
29		1ex 7761	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
30	28, 11, 29	fvmpt 5498	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 -> ( G ` 0 ) = 1 )
31	1, 30	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` 0 ) = 1 )
32	21, 31	eqtrd 2172	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = 1 )
33		1e0p1 9223	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 0 + 1 )
34	33	fveq2i 5424	. . . . . . . 8 |- ( G ` 1 ) = ( G ` ( 0 + 1 ) )
35		1nn0 8993	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
36		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( ! ` n ) = ( ! ` 1 ) )
37		fac1 10475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ! ` 1 ) = 1
38	36, 37	syl6eq 2188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ! ` n ) = 1 )
39	38	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / 1 ) )
40	39, 27	syl6eq 2188	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = 1 )
41	40, 11, 29	fvmpt 5498	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. NN0 -> ( G ` 1 ) = 1 )
42	35, 41	mp1i 10	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( G ` 1 ) = 1 )
43	34, 42	syl5eqr 2186	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( G ` ( 0 + 1 ) ) = 1 )
44	32, 43	oveq12d 5792	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) + ( G ` ( 0 + 1 ) ) ) = ( 1 + 1 ) )
45	19, 44	eqtrd 2172	. . . . 5 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) )
46	33	fveq2i 5424	. . . . 5 |- ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) = ( seq 0 ( + , G ) ` ( 0 + 1 ) )
47		df-2 8779	. . . . 5 |- 2 = ( 1 + 1 )
48	45, 46, 47	3eqtr4g 2197	. . . 4 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) = 2 )
49	35	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
50		nn0z 9074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
51		1exp 10322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
53	52	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
54	53	mpteq2ia 4014	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
55	11, 54	eqtr4i 2163	. . . . . . . 8 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
56	55	efcvg 11372	. . . . . . 7 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , G ) ~~> ( exp ` 1 ) )
57	26, 56	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 0 ( + , G ) ~~> ( exp ` 1 ) )
58		df-e 11355	. . . . . 6 |- _e = ( exp ` 1 )
59	57, 58	breqtrrdi 3970	. . . . 5 |- ( T. -> seq 0 ( + , G ) ~~> _e )
60	13	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
61	7	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
62	61	nnrecred 8767	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR )
63	60, 62	eqeltrd 2216	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
64	61	nnred 8733	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
65	61	nngt0d 8764	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` k ) )
66		1re 7765	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
67		0le1 8243	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
68		divge0 8631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
69	66, 67, 68	mpanl12 432	. . . . . . 7 |- ( ( ( ! ` k ) e. RR /\ 0 < ( ! ` k ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
70	64, 65, 69	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( 1 / ( ! ` k ) ) )
71	70, 60	breqtrrd 3956	. . . . 5 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
72	2, 49, 59, 63, 71	climserle 11114	. . . 4 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , G ) ` 1 ) <_ _e )
73	48, 72	eqbrtrrd 3952	. . 3 |- ( T. -> 2 <_ _e )
74	73	mptru 1340	. 2 |- 2 <_ _e
75		nnuz 9361	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
76		1zzd 9081	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
77	1	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
78	63	recnd 7794	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
79	2, 77, 78, 59	clim2ser 11106	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) ~~> ( _e - ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) )
80		0p1e1 8834	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
81		seqeq1 10221	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) = seq 1 ( + , G ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , G ) = seq 1 ( + , G )
83	32	mptru 1340	. . . . . . . 8 |- ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = 1
84	83	oveq2i 5785	. . . . . . 7 |- ( _e - ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) = ( _e - 1 )
85	79, 82, 84	3brtr3g 3961	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , G ) ~~> ( _e - 1 ) )
86		2cnd 8793	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 2 e. CC )
87		halfre 8933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 2 ) e. RR
88	87	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. RR )
89		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
90	88, 89	reexpcld 10441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
91		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
92		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) )
93	91, 92	fvmptg 5497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
94	90, 93	mpdan 417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
95	94	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
96		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
97		reexpcl 10310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
98	87, 96, 97	sylancr 410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
99	98	recnd 7794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. CC )
100	95, 99	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. CC )
101		1lt2 8889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 2
102		2re 8790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
103		0le2 8810	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 2
104		absid 10843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
105	102, 103, 104	mp2an 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 2 ) = 2
106	101, 105	breqtrri 3955	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < ( abs ` 2 )
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 < ( abs ` 2 ) )
108	86, 107, 95	georeclim 11282	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( 2 / ( 2 - 1 ) ) )
109		2m1e1 8838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 - 1 ) = 1
110	109	oveq2i 5785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / ( 2 - 1 ) ) = ( 2 / 1 )
111		2cn 8791	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
112	111	div1i 8500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / 1 ) = 2
113	110, 112	eqtri 2160	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 / ( 2 - 1 ) ) = 2
114	108, 113	breqtrdi 3969	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> 2 )
115	2, 77, 100, 114	clim2ser 11106	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) )
116		seqeq1 10221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 + 1 ) = 1 -> seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) )
117	80, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- seq ( 0 + 1 ) ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
118	6	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> k e. NN0 )
119	94, 90	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
120	118, 119	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ k e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. RR )
121	20, 120, 18	seq3-1 10233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) )
122		halfcn 8934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 / 2 ) e. CC
123		exp0 10297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC -> ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1 )
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1
125	124, 35	eqeltri 2212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) e. NN0
126		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
127	126, 92	fvmptg 5497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. NN0 /\ ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
128	1, 125, 127	mp2an 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 )
129	128, 124	eqtri 2160	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` 0 ) = 1
130	121, 129	syl6eq 2188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = 1 )
131	130	mptru 1340	. . . . . . . . . . 11 |- ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) = 1
132	131	oveq2i 5785	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) = ( 2 - 1 )
133	132, 109	eqtri 2160	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - ( seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ` 0 ) ) = 1
134	115, 117, 133	3brtr3g 3961	. . . . . . . 8 |- ( T. -> seq 1 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ) ~~> 1 )
135		nnnn0 8984	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
136	135, 100	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) e. CC )
137	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
138	135, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR )
139	137, 138	remulcld 7796	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
140	91	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
141		erelem1.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( n e. NN |-> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) )
142	140, 141	fvmptg 5497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
143	139, 142	mpdan 417	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
144	143	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
145	135, 95	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) = ( ( 1 / 2 ) ^ k ) )
146	145	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
147	144, 146	eqtr4d 2175	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) = ( 2 x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / 2 ) ^ n ) ) ` k ) ) )
148	75, 76, 86, 134, 136, 147	isermulc2 11109	. . . . . . 7 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> ( 2 x. 1 ) )
149		2t1e2 8873	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
150	148, 149	breqtrdi 3969	. . . . . 6 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 2 )
151	135, 63	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
152		remulcl 7748	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( 1 / 2 ) ^ k ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
153	102, 98, 152	sylancr 410	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
154	135, 153	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) e. RR )
155	144, 154	eqeltrd 2216	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
156		faclbnd2 10488	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) )
157	156	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) )
158		2nn 8881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
159		nnexpcl 10306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
160	158, 96, 159	sylancr 410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
161	160	nnrpd 9482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
162	161	rphalfcld 9496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ k ) / 2 ) e. RR+ )
163	61	nnrpd 9482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
164	162, 163	lerecd 9503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ k ) / 2 ) <_ ( ! ` k ) <-> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) ) )
165	157, 164	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) )
166		2cnd 8793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 e. CC )
167	160	nncnd 8734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
168	160	nnap0d 8766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
169	166, 167, 168	divrecapd 8553	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 / ( 2 ^ k ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 ^ k ) ) ) )
170		2ap0 8813	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> 2 # 0 )
172	167, 166, 168, 171	recdivapd 8567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) = ( 2 / ( 2 ^ k ) ) )
173		nn0z 9074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
174	173	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> k e. ZZ )
175	166, 171, 174	exprecapd 10432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ k ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
176	175	oveq2d 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) = ( 2 x. ( 1 / ( 2 ^ k ) ) ) )
177	169, 172, 176	3eqtr4rd 2183	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) / 2 ) ) )
178	165, 177	breqtrrd 3956	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
179	135, 178	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) <_ ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) ^ k ) ) )
180	135, 60	sylan2 284	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
181	179, 180, 144	3brtr4d 3960	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( F ` k ) )
182	75, 76, 85, 150, 151, 155, 181	iserle 11111	. . . . 5 |- ( T. -> ( _e - 1 ) <_ 2 )
183	182	mptru 1340	. . . 4 |- ( _e - 1 ) <_ 2
184		ere 11376	. . . . 5 |- _e e. RR
185	184, 66, 102	lesubaddi 8268	. . . 4 |- ( ( _e - 1 ) <_ 2 <-> _e <_ ( 2 + 1 ) )
186	183, 185	mpbi 144	. . 3 |- _e <_ ( 2 + 1 )
187		df-3 8780	. . 3 |- 3 = ( 2 + 1 )
188	186, 187	breqtrri 3955	. 2 |- _e <_ 3
189	74, 188	pm3.2i 270	1 |- ( 2 <_ _e /\ _e <_ 3 )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   T. wtru 1332   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   3c3 8772   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218   ^cexp 10292   !cfa 10471   abscabs 10769   ~~> cli 11047   expce 11348   _eceu 11349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-e 11355

This theorem is referenced by:  egt2lt3  11486