Theorem ltle 7265

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 7264	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 7254	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 167	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1434   class class class wbr 3793   RRcr 7042   < clt 7215   <_ cle 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-lttrn 7152

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221

This theorem is referenced by:  ltlei  7279  ltled  7295  ltleap  7797  lep1  7990  lem1  7992  letrp1  7993  ltmul12a  8005  bndndx  8354  nn0ge0  8380  zletric  8476  zlelttric  8477  zltnle  8478  zleloe  8479  zdcle  8505  uzind  8539  fnn0ind  8544  eluz2b2  8771  rpge0  8827  zltaddlt1le  9104  difelfznle  9223  elfzouz2  9247  elfzo0le  9271  fzosplitprm1  9320  fzostep1  9323  qletric  9330  qlelttric  9331  qltnle  9332  expgt1  9611  expnlbnd2  9695  faclbnd  9765  caucvgrelemcau  10004  resqrexlemdecn  10036  mulcn2  10289  nn0o  10451