Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  8gbe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 8gbe 41432
Description: 8 is an even Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
8gbe 8 ∈ GoldbachEven

Proof of Theorem 8gbe
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 8even 41393 . 2 8 ∈ Even
2 5prm 15809 . . 3 5 ∈ ℙ
3 3prm 15400 . . 3 3 ∈ ℙ
4 5odd 41390 . . . 4 5 ∈ Odd
5 3odd 41388 . . . 4 3 ∈ Odd
6 5p3e8 11163 . . . . 5 (5 + 3) = 8
76eqcomi 2630 . . . 4 8 = (5 + 3)
84, 5, 73pm3.2i 1238 . . 3 (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))
9 eleq1 2688 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (𝑝 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
10 biidd 252 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 𝑞 ∈ Odd ))
11 oveq1 6654 . . . . . 6 (𝑝 = 5 → (𝑝 + 𝑞) = (5 + 𝑞))
1211eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑝 = 5 → (8 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 𝑞)))
139, 10, 123anbi123d 1398 . . . 4 (𝑝 = 5 → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞))))
14 biidd 252 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (5 ∈ Odd ↔ 5 ∈ Odd ))
15 eleq1 2688 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (𝑞 ∈ Odd ↔ 3 ∈ Odd ))
16 oveq2 6655 . . . . . 6 (𝑞 = 3 → (5 + 𝑞) = (5 + 3))
1716eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑞 = 3 → (8 = (5 + 𝑞) ↔ 8 = (5 + 3)))
1814, 15, 173anbi123d 1398 . . . 4 (𝑞 = 3 → ((5 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 𝑞)) ↔ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))))
1913, 18rspc2ev 3322 . . 3 ((5 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ (5 ∈ Odd ∧ 3 ∈ Odd ∧ 8 = (5 + 3))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞)))
202, 3, 8, 19mp3an 1423 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))
21 isgbe 41410 . 2 (8 ∈ GoldbachEven ↔ (8 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 8 = (𝑝 + 𝑞))))
221, 20, 21mpbir2an 955 1 8 ∈ GoldbachEven
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wrex 2912  (class class class)co 6647   + caddc 9936  3c3 11068  5c5 11070  8c8 11073  cprime 15379   Even ceven 41308   Odd codd 41309   GoldbachEven cgbe 41404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-dvds 14978  df-prm 15380  df-even 41310  df-odd 41311  df-gbe 41407
This theorem is referenced by:  nnsum3primesle9  41453
  Copyright terms: Public domain W3C validator