MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtrivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtrivd 18888
Description: The trivial absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z 0 = (0g𝑅)
abvtriv.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
abvtrivd.1 · = (.r𝑅)
abvtrivd.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
abvtrivd.3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
abvtrivd (𝜑𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, ·   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   · (𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem abvtrivd
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3 abvtriv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
5 eqidd 2652 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑅))
6 abvtrivd.1 . . 3 · = (.r𝑅)
76a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝑅))
8 abvtriv.z . . 3 0 = (0g𝑅)
98a1i 11 . 2 (𝜑0 = (0g𝑅))
10 abvtrivd.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
11 0re 10078 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 1re 10077 . . . . 5 1 ∈ ℝ
1311, 12keepel 4188 . . . 4 if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ
1413a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) ∈ ℝ)
15 abvtriv.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
1614, 15fmptd 6425 . 2 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℝ)
173, 8ring0cl 18615 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
18 iftrue 4125 . . . 4 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = 0)
19 c0ex 10072 . . . 4 0 ∈ V
2018, 15, 19fvmpt 6321 . . 3 ( 0𝐵 → (𝐹0 ) = 0)
2110, 17, 203syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐹0 ) = 0)
22 0lt1 10588 . . 3 0 < 1
23 eqeq1 2655 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0𝑦 = 0 ))
2423ifbid 4141 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
25 1ex 10073 . . . . . . 7 1 ∈ V
2619, 25ifex 4189 . . . . . 6 if(𝑦 = 0 , 0, 1) ∈ V
2724, 15, 26fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
28 ifnefalse 4131 . . . . 5 (𝑦0 → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
2927, 28sylan9eq 2705 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑦0 ) → (𝐹𝑦) = 1)
30293adant1 1099 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵𝑦0 ) → (𝐹𝑦) = 1)
3122, 30syl5breqr 4723 . 2 ((𝜑𝑦𝐵𝑦0 ) → 0 < (𝐹𝑦))
32 1t1e1 11213 . . . 4 (1 · 1) = 1
3332eqcomi 2660 . . 3 1 = (1 · 1)
34103ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
35 simp2l 1107 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑦𝐵)
36 simp3l 1109 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑧𝐵)
373, 6ringcl 18607 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵)
39 eqeq1 2655 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦 · 𝑧) = 0 ))
4039ifbid 4141 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
4119, 25ifex 4189 . . . . . 6 if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
4240, 15, 41fvmpt 6321 . . . . 5 ((𝑦 · 𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
4338, 42syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1))
44 abvtrivd.3 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦 · 𝑧) ≠ 0 )
4544neneqd 2828 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ (𝑦 · 𝑧) = 0 )
4645iffalsed 4130 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if((𝑦 · 𝑧) = 0 , 0, 1) = 1)
4743, 46eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = 1)
4835, 27syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑦) = if(𝑦 = 0 , 0, 1))
49 simp2r 1108 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑦0 )
5049neneqd 2828 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ 𝑦 = 0 )
5150iffalsed 4130 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if(𝑦 = 0 , 0, 1) = 1)
5248, 51eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑦) = 1)
53 eqeq1 2655 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 0𝑧 = 0 ))
5453ifbid 4141 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5519, 25ifex 4189 . . . . . . 7 if(𝑧 = 0 , 0, 1) ∈ V
5654, 15, 55fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
5736, 56syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑧) = if(𝑧 = 0 , 0, 1))
58 simp3r 1110 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑧0 )
5958neneqd 2828 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ¬ 𝑧 = 0 )
6059iffalsed 4130 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if(𝑧 = 0 , 0, 1) = 1)
6157, 60eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹𝑧) = 1)
6252, 61oveq12d 6708 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = (1 · 1))
6333, 47, 623eqtr4a 2711 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
64 breq1 4688 . . . . . 6 (0 = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (0 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
65 breq1 4688 . . . . . 6 (1 = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) → (1 ≤ 2 ↔ if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2))
66 0le2 11149 . . . . . 6 0 ≤ 2
67 1le2 11279 . . . . . 6 1 ≤ 2
6864, 65, 66, 67keephyp 4185 . . . . 5 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ 2
69 df-2 11117 . . . . 5 2 = (1 + 1)
7068, 69breqtri 4710 . . . 4 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1)
7170a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ≤ (1 + 1))
72 ringgrp 18598 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7310, 72syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
74733ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → 𝑅 ∈ Grp)
75 eqid 2651 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
763, 75grpcl 17477 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
7774, 35, 36, 76syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78 eqeq1 2655 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 ))
7978ifbid 4141 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → if(𝑥 = 0 , 0, 1) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8019, 25ifex 4189 . . . . 5 if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1) ∈ V
8179, 15, 80fvmpt 6321 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8277, 81syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = if((𝑦(+g𝑅)𝑧) = 0 , 0, 1))
8352, 61oveq12d 6708 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) = (1 + 1))
8471, 82, 833brtr4d 4717 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
852, 4, 5, 7, 9, 10, 16, 21, 31, 63, 84isabvd 18868 1 (𝜑𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  Ringcrg 18593  AbsValcabv 18864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ico 12219  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-abv 18865
This theorem is referenced by:  abvtriv  18889  abvn0b  19350
  Copyright terms: Public domain W3C validator