MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  affineequiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem affineequiv 24598
Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
affineequiv.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.D (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
affineequiv (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv
StepHypRef Expression
1 affineequiv.C . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 affineequiv.D . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
32, 1mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
4 affineequiv.A . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
52, 4mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
61, 3, 5subsubd 10458 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))) = ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)))
71, 3subcld 10430 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
87, 5addcomd 10276 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
96, 8eqtr2d 2686 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
10 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1110, 2, 1subdird 10525 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)))
121mulid2d 10096 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
1312oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
1411, 13eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
1514oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
16 affineequiv.B . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
171, 16subcld 10430 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
181, 4subcld 10430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
192, 18mulcld 10098 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
2016, 17, 19addsubassd 10450 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶𝐵)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))))
2116, 1pncan3d 10433 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + (𝐶𝐵)) = 𝐶)
222, 1, 4subdid 10524 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 · (𝐶𝐴)) = ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)))
2321, 22oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶𝐵)) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
2420, 23eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
259, 15, 243eqtr4d 2695 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))))
2625eqeq2d 2661 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))))
2716addid1d 10274 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
2827eqeq1d 2653 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))))))
29 0cnd 10071 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3017, 19subcld 10430 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ∈ ℂ)
3116, 29, 30addcand 10277 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))) ↔ 0 = ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))))
3226, 28, 313bitr2d 296 . . 3 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 0 = ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴)))))
33 eqcom 2658 . . 3 (0 = ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) ↔ ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = 0)
3432, 33syl6bb 276 . 2 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ ((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = 0))
3517, 19subeq0ad 10440 . 2 (𝜑 → (((𝐶𝐵) − (𝐷 · (𝐶𝐴))) = 0 ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
3634, 35bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝐷 · (𝐶𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  affineequiv2  24599  angpieqvd  24603  chordthmlem2  24605  chordthmlem4  24607
  Copyright terms: Public domain W3C validator