MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid1d 10188
Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addid1d (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addid1 10168 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888   + caddc 9891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-ltxr 10031
This theorem is referenced by:  ltaddneg  10203  subsub2  10261  negsub  10281  ltaddpos  10470  addge01  10490  add20  10492  nnge1  10998  nnnn0addcl  11275  un0addcl  11278  uzaddcl  11696  xaddid1  12023  fzosubel3  12477  expadd  12850  faclbnd4lem4  13031  faclbnd6  13034  hashgadd  13114  ccatrid  13317  swrd0val  13367  swrdid  13374  swrd0fv  13385  swrd0swrd  13407  swrdccatin12lem2b  13431  swrdccatin12lem2  13434  swrdccat3blem  13440  splfv1  13451  cshweqrep  13512  relexpaddg  13735  reim0b  13801  rereb  13802  immul2  13819  max0add  13992  iseraltlem2  14355  fsumsplit  14412  sumsplit  14438  binomfallfaclem2  14707  pwp1fsum  15049  bitsinv1lem  15098  sadadd2lem2  15107  sadcaddlem  15114  bezoutlem1  15191  pcadd  15528  pcadd2  15529  pcmpt  15531  vdwapun  15613  vdwlem1  15620  mulgnn0dir  17503  psgnunilem2  17847  sylow1lem1  17945  efginvrel2  18072  efgredleme  18088  efgcpbllemb  18100  frgpnabllem1  18208  mplcoe5  19400  regsumfsum  19746  regsumsupp  19900  xrsxmet  22535  reparphti  22720  minveclem6  23128  ovolunnul  23191  voliunlem3  23243  ovolioo  23259  itg2splitlem  23438  itg2split  23439  itgrevallem1  23484  itgsplitioo  23527  ditgsplit  23548  dvnadd  23615  dvlipcn  23678  ply1divex  23817  dvntaylp  24046  ulmshft  24065  abelthlem6  24111  cosmpi  24161  sinppi  24162  sinhalfpip  24165  logrnaddcl  24242  affineequiv  24470  chordthmlem3  24478  atanlogaddlem  24557  atanlogsublem  24559  leibpi  24586  scvxcvx  24629  dmgmn0  24669  lgamgulmlem2  24673  lgambdd  24680  logexprlim  24867  2sqblem  25073  dchrvmasum2if  25103  dchrvmasumlem  25129  axcontlem8  25768  crctcshlem4  26598  eupth2lem3lem6  26976  ipidsq  27435  minvecolem6  27608  normpyc  27873  pjspansn  28306  lnfnmuli  28773  hstoh  28961  archirngz  29552  esumpfinvallem  29941  signsvtp  30464  signlem0  30468  cvxpconn  30967  cvxsconn  30968  elmrsubrn  31160  faclim2  31377  fwddifn0  31948  fwddifnp1  31949  dnizeq0  32142  knoppndvlem6  32185  bj-bary1lem  32828  poimirlem1  33077  poimirlem5  33081  poimirlem6  33082  poimirlem7  33083  poimirlem11  33087  poimirlem12  33088  poimirlem17  33093  poimirlem20  33096  poimirlem22  33098  poimirlem24  33100  poimirlem25  33101  poimirlem29  33105  poimirlem31  33107  mblfinlem2  33114  mbfposadd  33124  itg2addnc  33131  itgaddnclem2  33136  ftc1anclem5  33156  ftc1anclem8  33159  areacirc  33172  pell1qrgaplem  36952  jm2.19lem3  37073  jm2.25  37081  relexpaddss  37526  int-add01d  38004  binomcxplemnn0  38065  fperiodmullem  39012  xralrple3  39085  sumnnodd  39294  fprodaddrecnncnvlem  39454  ioodvbdlimc1lem2  39480  volioc  39521  volico  39533  stoweidlem11  39561  stoweidlem26  39576  stirlinglem12  39635  fourierdlem4  39661  fourierdlem42  39699  fourierdlem60  39716  fourierdlem61  39717  fourierdlem92  39748  fourierdlem107  39763  fouriersw  39781  etransclem24  39808  etransclem35  39819  hoidmvlelem2  40143  hspmbllem1  40173  sharhght  40384  deccarry  40644  pfxmpt  40712  pfxfv  40724  pfxccatin12lem1  40748  pfxccatin12lem2  40749  altgsumbcALT  41445
  Copyright terms: Public domain W3C validator