Theorem addid1d 10840

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addid1 10820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537   + caddc 10540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680

This theorem is referenced by:  ltaddneg  10855  subsub2  10914  negsub  10934  ltaddpos  11130  addge01  11150  add20  11152  nnge1  11666  nnnn0addcl  11928  un0addcl  11931  uzaddcl  12305  xaddid1  12635  fzosubel3  13099  expadd  13472  faclbnd4lem4  13657  faclbnd6  13660  hashgadd  13739  ccatrid  13941  pfxmpt  14040  pfxfv  14044  pfxswrd  14068  pfxccatin12lem1  14090  pfxccatin12lem2  14093  swrdccat3blem  14101  cshweqrep  14183  relexpaddg  14412  reim0b  14478  rereb  14479  immul2  14496  max0add  14670  iseraltlem2  15039  fsumsplit  15097  sumsplit  15123  binomfallfaclem2  15394  pwp1fsum  15742  bitsinv1lem  15790  sadadd2lem2  15799  sadcaddlem  15806  bezoutlem1  15887  pcadd  16225  pcadd2  16226  pcmpt  16228  vdwapun  16310  vdwlem1  16317  mulgnn0dir  18257  psgnunilem2  18623  sylow1lem1  18723  efginvrel2  18853  efgredleme  18869  efgcpbllemb  18881  frgpnabllem1  18993  mplcoe5  20249  regsumfsum  20613  regsumsupp  20766  xrsxmet  23417  reparphti  23601  minveclem6  24037  ovolunnul  24101  voliunlem3  24153  ovolioo  24169  itg2splitlem  24349  itg2split  24350  itgrevallem1  24395  itgsplitioo  24438  ditgsplit  24459  dvnadd  24526  dvlipcn  24591  ply1divex  24730  dvntaylp  24959  ulmshft  24978  abelthlem6  25024  cosmpi  25074  sinppi  25075  sinhalfpip  25078  logrnaddcl  25158  affineequiv  25401  chordthmlem3  25412  atanlogaddlem  25491  atanlogsublem  25493  leibpi  25520  scvxcvx  25563  dmgmn0  25603  lgamgulmlem2  25607  lgambdd  25614  logexprlim  25801  2sqblem  26007  2sq2  26009  2sqnn  26015  dchrvmasum2if  26073  dchrvmasumlem  26099  axcontlem8  26757  elntg2  26771  crctcshlem4  27598  eupth2lem3lem6  28012  ipidsq  28487  minvecolem6  28659  normpyc  28923  pjspansn  29354  lnfnmuli  29821  hstoh  30009  archirngz  30818  indsumin  31281  esumpfinvallem  31333  signsvtp  31853  signlem0  31857  fsum2dsub  31878  cvxpconn  32489  cvxsconn  32490  elmrsubrn  32767  faclim2  32980  fwddifn0  33625  fwddifnp1  33626  dnizeq0  33814  knoppndvlem6  33856  bj-bary1lem  34594  poimirlem1  34908  poimirlem5  34912  poimirlem6  34913  poimirlem7  34914  poimirlem11  34918  poimirlem12  34919  poimirlem17  34924  poimirlem20  34927  poimirlem22  34929  poimirlem24  34931  poimirlem25  34932  poimirlem29  34936  poimirlem31  34938  mblfinlem2  34945  mbfposadd  34954  itg2addnc  34961  itgaddnclem2  34966  ftc1anclem5  34986  ftc1anclem8  34989  areacirc  35002  3cubeslem2  39302  3cubeslem3r  39304  pell1qrgaplem  39490  jm2.19lem3  39608  jm2.25  39616  relexpaddss  40083  int-add01d  40557  binomcxplemnn0  40701  fperiodmullem  41590  xralrple3  41662  sumnnodd  41931  fprodaddrecnncnvlem  42213  ioodvbdlimc1lem2  42237  volioc  42277  volico  42288  stoweidlem11  42316  stoweidlem26  42331  stirlinglem12  42390  fourierdlem4  42416  fourierdlem42  42454  fourierdlem60  42471  fourierdlem61  42472  fourierdlem92  42503  fourierdlem107  42518  fouriersw  42536  etransclem24  42563  etransclem35  42574  hoidmvlelem2  42898  hspmbllem1  42928  sharhght  43142  deccarry  43531  nn0mnd  44106  altgsumbcALT  44421  eenglngeehlnmlem2  44745  line2y  44762  itschlc0xyqsol1  44773  itschlc0xyqsol  44774  2itscp  44788