Theorem asclghm 20112

Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
asclghm	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Proof of Theorem asclghm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2821	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2821	. 2 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
4		eqid 2821	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		asclf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lmodring 19642	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
9		ringgrp 19302	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
11		asclf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
12		ringgrp 19302	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
14		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
15	14, 6, 11, 5, 1, 2	asclf 20111	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐹)⟶(Base‘𝑊))
16	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
19		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
20	2, 19	ringidcl 19318	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	11, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
23		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	2, 4, 6, 23, 1, 3	lmodvsdir 19658	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	16, 17, 18, 22, 24	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	1, 3	grpcl 18111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
27	26	3expb 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
28	10, 27	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
29	14, 6, 1, 23, 19	asclval 20109	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	14, 6, 1, 23, 19	asclval 20109	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑥) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	14, 6, 1, 23, 19	asclval 20109	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑦) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
33	31, 32	oveqan12d 7175	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
36	1, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35	isghmd 18367	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  Grpcgrp 18103   GrpHom cghm 18355  1_rcur 19251  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  algSccascl 20084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636  df-ascl 20087

This theorem is referenced by:  asclinvg  20118  asclrhm  20119  cpmatacl  21324  cpmatinvcl  21325  mat2pmatghm  21338  mat2pmatmul  21339