MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclghm 19278
Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclf.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r (𝜑𝑊 ∈ Ring)
asclf.l (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
asclghm (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Proof of Theorem asclghm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2 eqid 2621 . 2 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 eqid 2621 . 2 (+g𝐹) = (+g𝐹)
4 eqid 2621 . 2 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5 asclf.l . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 asclf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
76lmodring 18811 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
9 ringgrp 18492 . . 3 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
11 asclf.r . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
12 ringgrp 18492 . . 3 (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
14 asclf.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
1514, 6, 11, 5, 1, 2asclf 19277 . 2 (𝜑𝐴:(Base‘𝐹)⟶(Base‘𝑊))
165adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simprl 793 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18 simprr 795 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
19 eqid 2621 . . . . . . 7 (1r𝑊) = (1r𝑊)
202, 19ringidcl 18508 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2111, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2221adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
23 eqid 2621 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
242, 4, 6, 23, 1, 3lmodvsdir 18827 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
2516, 17, 18, 22, 24syl13anc 1325 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
261, 3grpcl 17370 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
27263expb 1263 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
2810, 27sylan 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
2914, 6, 1, 23, 19asclval 19275 . . . 4 ((𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3028, 29syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3114, 6, 1, 23, 19asclval 19275 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴𝑥) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3214, 6, 1, 23, 19asclval 19275 . . . . 5 (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴𝑦) = (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3331, 32oveqan12d 6634 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
3433adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
3525, 30, 343eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)))
361, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35isghmd 17609 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  Grpcgrp 17362   GrpHom cghm 17597  1rcur 18441  Ringcrg 18487  LModclmod 18803  algSccascl 19251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-ghm 17598  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805  df-ascl 19254
This theorem is referenced by:  asclinvg  19281  asclrhm  19282  cpmatacl  20461  cpmatinvcl  20462  mat2pmatghm  20475  mat2pmatmul  20476
  Copyright terms: Public domain W3C validator