Theorem ballotlemfval0 31753

Description: (𝐹‘𝐶) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfval0	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		0zd 11994	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 0 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlemfval 31747	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))))
9		fz10 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (1...0) = ∅
10	9	ineq1i 4185	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∩ 𝐶) = (∅ ∩ 𝐶)
11		incom 4178	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐶)
12		in0 4345	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ ∅) = ∅
13	10, 11, 12	3eqtr2i 2850	. . . . . 6 ⊢ ((1...0) ∩ 𝐶) = ∅
14	13	fveq2i 6673	. . . . 5 ⊢ (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = (♯‘∅)
15		hash0 13729	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16	14, 15	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = 0
17	9	difeq1i 4095	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∖ 𝐶) = (∅ ∖ 𝐶)
18		0dif 4355	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∖ 𝐶) = ∅
19	17, 18	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((1...0) ∖ 𝐶) = ∅
20	19	fveq2i 6673	. . . . 5 ⊢ (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = (♯‘∅)
21	20, 15	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = 0
22	16, 21	oveq12i 7168	. . 3 ⊢ ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = (0 − 0)
23		0m0e0 11758	. . 3 ⊢ (0 − 0) = 0
24	22, 23	eqtri 2844	. 2 ⊢ ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = 0
25	8, 24	syl6eq 2872	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ∖ cdif 3933   ∩ cin 3935  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   − cmin 10870   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℤcz 11982  ...cfz 12893  ♯chash 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692

This theorem is referenced by:  ballotlem4  31756  ballotlemi1  31760  ballotlemii  31761  ballotlemic  31764  ballotlem1c  31765