Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem1c 30350
Description: If the first vote is for A, the vote on the first tie is for B. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlem1c ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem1c
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 eldifi 3710 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
76ad2antrr 761 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10 𝑁 < 𝑀
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 30344 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1211simpld 475 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
13 elfznn 12312 . . . . . . . 8 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℕ)
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemii 30346 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ≠ 1)
17 eluz2b3 11706 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐼𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐶) ≠ 1))
1815, 16, 17sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2))
19 uz2m1nn 11707 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
2120adantr 481 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ)
22 elnnuz 11668 . . . . . . 7 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2322biimpi 206 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℕ → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1))
24 eluzfz1 12290 . . . . . 6 (((𝐼𝐶) − 1) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2520, 23, 243syl 18 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
2625adantr 481 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)))
27 0le1 10495 . . . . . . 7 0 ≤ 1
28 1e0p1 11496 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
2927, 28breqtri 4638 . . . . . 6 0 ≤ (0 + 1)
30 1nn 10975 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℕ)
321, 2, 3, 4, 5, 6, 31ballotlemfp1 30334 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
3332simprd 479 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1)))
3433imp 445 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))
35 1m1e0 11033 . . . . . . . . . 10 (1 − 1) = 0
3635fveq2i 6151 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
3736oveq1i 6614 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1)
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1) = (((𝐹𝐶)‘0) + 1))
391, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 30338 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
406, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
4241oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘0) + 1) = (0 + 1))
4334, 38, 423eqtrrd 2660 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → (0 + 1) = ((𝐹𝐶)‘1))
4429, 43syl5breq 4650 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1))
4544adantr 481 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1))
46 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → ((𝐹𝐶)‘𝑖) = ((𝐹𝐶)‘1))
4746breq2d 4625 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1)))
4847rspcev 3295 . . . 4 ((1 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖))
4926, 45, 48syl2anc 692 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))0 ≤ ((𝐹𝐶)‘𝑖))
50 df-neg 10213 . . . . . 6 -1 = (0 − 1)
511, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 30334 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) − 1)) ∧ ((𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1))))
5251simprd 479 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1)))
5352imp 445 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1))
5411simprd 479 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
5554adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
5653, 55eqtr3d 2657 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1) = 0)
57 0cnd 9977 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 0 ∈ ℂ)
58 1cnd 10000 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℂ)
596adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 𝐶𝑂)
6014nnzd 11425 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
62 1zzd 11352 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → 1 ∈ ℤ)
6361, 62zsubcld 11431 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
641, 2, 3, 4, 5, 59, 63ballotlemfelz 30333 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℤ)
6564zcnd 11427 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ∈ ℂ)
6657, 58, 65subadd2d 10355 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((0 − 1) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ (((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) + 1) = 0))
6756, 66mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → (0 − 1) = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
6850, 67syl5eq 2667 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → -1 = ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)))
69 neg1lt0 11071 . . . . 5 -1 < 0
7068, 69syl6eqbrr 4653 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) < 0)
7170adantlr 750 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘((𝐼𝐶) − 1)) < 0)
721, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 49, 71ballotlemfcc 30336 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
731, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 30348 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7473ad2antrr 761 . 2 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) ∧ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
7572, 74pm2.65da 599 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ 𝐶) → ¬ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  cdif 3552  cin 3554  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  infcinf 8291  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  ballotlem7  30378
  Copyright terms: Public domain W3C validator