Theorem bj-bary1lem1 34595

Description: Lemma for bj-bary1: computation of one of the two barycentric coordinates of a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
bj-bary1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 10998	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5		pm5.31 828	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
6	3, 4, 5	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7		eqtr2 2842	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
8	7	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
9	6, 8	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10		oveq1 7163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
11	10	oveq1d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12		eqtr 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
13	11, 12	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14		1cnd 10636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15		bj-bary1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 2, 15	subdird 11097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
17	15	mulid2d 10659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	17	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
19	16, 18	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
20	19	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
21	13, 20	sylan9eqr 2878	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
22	21	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
23	9, 22	sylan2d 606	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
24	2, 15	mulcld 10661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25		bj-bary1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	2, 25	mulcld 10661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
27	15, 24, 26	subadd23d 11019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
28	2, 25, 15	subdid 11096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
29	28	eqcomd 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
30	29	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
31	27, 30	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
32	31	eqeq2d 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
33	23, 32	sylibd 241	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
34		oveq1 7163	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴))
35	25, 15	subcld 10997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
36	2, 35	mulcld 10661	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
37	15, 36	pncan2d 10999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
38	37	eqeq2d 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
39	34, 38	syl5ib 246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
40		eqcom 2828	. . 3 ⊢ ((𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴))
41	2, 35	mulcomd 10662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) · 𝑇))
42	41	eqeq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴)))
43		bj-bary1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
44	43, 15	subcld 10997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
45		bj-bary1.neq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	45	necomd 3071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
47	25, 15, 46	subne0d 11006	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
48	35, 2, 44, 47	rdiv 11475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
49	48	biimpd 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
50	42, 49	sylbid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
51	40, 50	syl5bi 244	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
52	33, 39, 51	3syld 60	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870   / cdiv 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298

This theorem is referenced by:  bj-bary1  34596