Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem1 32791
Description: Existence and uniqueness (and actual computation) of barycentric coordinates in dimension 1 (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
31, 2pncand 10337 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4 oveq1 6611 . . . . . 6 ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5 pm5.31 611 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
63, 4, 5sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7 eqtr2 2641 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
87eqcomd 2627 . . . . 5 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
96, 8syl6 35 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
1110oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12 eqtr 2640 . . . . . . 7 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
1311, 12sylan2 491 . . . . . 6 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14 1cnd 10000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1614, 2, 15subdird 10431 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1715mulid2d 10002 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1817oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
1916, 18eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2019oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2113, 20sylan9eqr 2677 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2221ex 450 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
239, 22sylan2d 499 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
242, 15mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25 bj-bary1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
262, 25mulcld 10004 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
2715, 24, 26subadd23d 10358 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
282, 25, 15subdid 10430 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
2928eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3029oveq2d 6620 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3127, 30eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3231eqeq2d 2631 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
3323, 32sylibd 229 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
34 oveq1 6611 . . 3 (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴))
3525, 15subcld 10336 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
362, 35mulcld 10004 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3715, 36pncan2d 10338 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3837eqeq2d 2631 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3934, 38syl5ib 234 . 2 (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
40 eqcom 2628 . . 3 ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴))
412, 35mulcomd 10005 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · 𝑇))
4241eqeq1d 2623 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) ↔ ((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴)))
43 bj-bary1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4443, 15subcld 10336 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
45 bj-bary1.neq . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
4645necomd 2845 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
4725, 15, 46subne0d 10345 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
4835, 2, 44, 47bj-rdiv 32786 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
4948biimpd 219 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5042, 49sylbid 230 . . 3 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5140, 50syl5bi 232 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5233, 39, 513syld 60 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210   / cdiv 10628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629
This theorem is referenced by:  bj-bary1  32792
  Copyright terms: Public domain W3C validator