Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem 32179
Description: A lemma for barycentric coordinates in one dimension. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 9813 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54, 2mulcld 9813 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
63, 5subcld 10141 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
74, 1mulcld 9813 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
82, 1mulcld 9813 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
96, 7, 8addsub12d 10164 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
103, 5, 8sub32d 10173 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
111, 2bj-subcom 32173 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
1211oveq1d 6440 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1310, 12eqtrd 2548 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1413oveq2d 6441 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
159, 14eqtrd 2548 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16 0cnd 9786 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
177, 16, 5addsubassd 10161 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
187addid1d 9985 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
1918oveq1d 6440 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2015, 17, 193eqtr2d 2554 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
211, 4, 2subdird 10235 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
224, 2, 1subdird 10235 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
2321, 22oveq12d 6443 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
244, 1, 2subdid 10234 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2520, 23, 243eqtr4rd 2559 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)))
2625oveq1d 6440 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)))
271, 4subcld 10141 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
2827, 2mulcld 9813 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
294, 2subcld 10141 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
3029, 1mulcld 9813 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
311, 2subcld 10141 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
32 bj-bary1.neq . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3332necomd 2741 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
341, 2, 33subne0d 10150 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3528, 30, 31, 34divdird 10586 . . 3 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
3626, 35eqtrd 2548 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
374, 31, 34divcan4d 10554 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 𝑋)
3827, 2, 31, 34div23d 10585 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
3929, 1, 31, 34div23d 10585 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴)) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
4038, 39oveq12d 6443 . 2 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
4136, 37, 403eqtr3d 2556 1 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  (class class class)co 6425  cc 9687  0cc0 9689   + caddc 9692   · cmul 9694  cmin 10015   / cdiv 10431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432
This theorem is referenced by:  bj-bary1  32181
  Copyright terms: Public domain W3C validator