Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem 32832
Description: A lemma for barycentric coordinates in one dimension. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 10020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54, 2mulcld 10020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
63, 5subcld 10352 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
74, 1mulcld 10020 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
82, 1mulcld 10020 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
96, 7, 8addsub12d 10375 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
103, 5, 8sub32d 10384 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
111, 2bj-subcom 32826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
1211oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1310, 12eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1413oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
159, 14eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16 0cnd 9993 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
177, 16, 5addsubassd 10372 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
187addid1d 10196 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
1918oveq1d 6630 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2015, 17, 193eqtr2d 2661 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
211, 4, 2subdird 10447 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
224, 2, 1subdird 10447 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
2321, 22oveq12d 6633 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
244, 1, 2subdid 10446 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2520, 23, 243eqtr4rd 2666 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)))
2625oveq1d 6630 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)))
271, 4subcld 10352 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
2827, 2mulcld 10020 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
294, 2subcld 10352 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
3029, 1mulcld 10020 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
311, 2subcld 10352 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
32 bj-bary1.neq . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3332necomd 2845 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
341, 2, 33subne0d 10361 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3528, 30, 31, 34divdird 10799 . . 3 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
3626, 35eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
374, 31, 34divcan4d 10767 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 𝑋)
3827, 2, 31, 34div23d 10798 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
3929, 1, 31, 34div23d 10798 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴)) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
4038, 39oveq12d 6633 . 2 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
4136, 37, 403eqtr3d 2663 1 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226   / cdiv 10644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645
This theorem is referenced by:  bj-bary1  32834
  Copyright terms: Public domain W3C validator